作业帮西姆松定理的应用
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/28 07:57:40
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西姆松定理的应用
西姆松定理的应用
西姆松定理的应用
定理:设 P 是△ABC 所在平面上一点,P在它的三边BC,CA,AB 所在直线上的射影分别为X,Y,Z ,则P在△ABC的外接圆上的充要条件是：X,Y,Z 三点共线.
本定理中,X,Y,Z 三点所在的直线叫△ABC关于点P的西姆松线.
例1．设 P 是△ABC 的外接圆弧 BC 上任意一点,P 在它的三边 BC,CA,AB 所在直线上的射影分别为D,E,F ,PD,PE,PF 或其延长线与外接圆分别交于 X,Y,Z .证明：AX,BY,CZ 都是△ ABC 关于点 P 的西姆松线的平行线.
例2．设 H 是△ABC 的垂心,P 是它的外接圆上任意一点,求证：△ ABC 关于点 P 的西姆松线平分线段 PH .
例3．在△ ABC 中,AC＞BC ,外接圆直径 DE⊥AB 于 F ,其中 C 和 E 在 AB 的同侧,过 C 作 CL⊥DE 于 L ,求证：DE·EF＝（AC + BC）的平方÷ 4 .（93年SMO训练题）.
证明三点共线
例子各竞赛书上都有.