试证明;任何一个凸多边形的内角中,不能有3个以上是锐角.

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/10/02 12:06:48
试证明;任何一个凸多边形的内角中,不能有3个以上是锐角.
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试证明;任何一个凸多边形的内角中,不能有3个以上是锐角.
试证明;任何一个凸多边形的内角中,不能有3个以上是锐角.

试证明;任何一个凸多边形的内角中,不能有3个以上是锐角.
用反证法证:
设在凸多边形中有3个以上是锐角
所以 外角有3个以上是钝角
所以 该多变形不为凸多边形
这与题设不符
所以任何一个凸多边形的内角中,不能有3个以上是锐角.

证明:凸n(n>=3)边形的n个内角和为180(n-2)
设有k个锐角,则剩余k-n个内角和>180(n-2)-90k=180n-360-90k
平均每个内角为180n-360-90k/n-k =90+90*(n-4)/(n-k)
该多边形为凸多边形,故上式<180 得k<4
所以
在一个凸多边形中,它的内角最多可以有3个锐角

假定n边形的n个内角中有超过4个角是锐角,则这4个锐角的度数和小于360°。
因为n边形的内角和为:180°(n-3)=180°n-270°,所以,另外的n-4个内角和大于180°n-270°-360°=180°n-630°,平均大于(180°n-630°)/(n-4)=180°+90°/(n-4),因此,其他的角中必有大于180°的角,这与题中条件矛盾,所以,假定不成立,说明任何一个凸多...

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假定n边形的n个内角中有超过4个角是锐角,则这4个锐角的度数和小于360°。
因为n边形的内角和为:180°(n-3)=180°n-270°,所以,另外的n-4个内角和大于180°n-270°-360°=180°n-630°,平均大于(180°n-630°)/(n-4)=180°+90°/(n-4),因此,其他的角中必有大于180°的角,这与题中条件矛盾,所以,假定不成立,说明任何一个凸多边形的内角中,不能有4锐角。同理可证,任何一个凸多边形的内角中,不能有五个及其以上是锐角。

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