如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,D是AB上的一点,BD=BC,过D作AB的垂线交AC于点E,CD交BE于点F,求证:BE⊥CD
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/09/09 09:36:07
![如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,D是AB上的一点,BD=BC,过D作AB的垂线交AC于点E,CD交BE于点F,求证:BE⊥CD](/uploads/image/z/11678108-68-8.jpg?t=%E5%A6%82%E5%9B%BE%2CRt%E2%96%B3ABC%E4%B8%AD%2C%E2%88%A0ACB%3D90%C2%B0%2CD%E6%98%AFAB%E4%B8%8A%E7%9A%84%E4%B8%80%E7%82%B9%2CBD%3DBC%2C%E8%BF%87D%E4%BD%9CAB%E7%9A%84%E5%9E%82%E7%BA%BF%E4%BA%A4AC%E4%BA%8E%E7%82%B9E%2CCD%E4%BA%A4BE%E4%BA%8E%E7%82%B9F%2C%E6%B1%82%E8%AF%81%EF%BC%9ABE%E2%8A%A5CD)
如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,D是AB上的一点,BD=BC,过D作AB的垂线交AC于点E,CD交BE于点F,求证:BE⊥CD
如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,D是AB上的一点,BD=BC,过D作AB的垂线交AC于点E,CD交BE于点F,求证:BE⊥CD
如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,D是AB上的一点,BD=BC,过D作AB的垂线交AC于点E,CD交BE于点F,求证:BE⊥CD
证明:因为角ACB=90度
因为DE垂直AB于D
所以角BDE=90度
所以角BDE+角ACB=180度
所以C.E.D.B四点共圆
所以解CEB=角CDB
因为BD=BC
所以角CDB=角BCD
因为角ACB=角ECF+角BCD=90度
所以角CEB+角ECF=90度
因为角ECF+角CEB+角EFC=180度
所以角EFC=90度
所以BE垂直CD
∵DE⊥AB ,∴∠BDE=90°
又∵∠ACB=90°,∴∠BDE=∠ACB;
又因为BD=BC,BE=BE,
所以△ECB≡△BDE;
∴∠DBE=∠CBE;
又∵DB=BC,BF=BF
∴△DBF≡△CBF;
∴∠DFB=∠CFB
又因为∠DFB+∠CFB=180°;
所以∠DFB=∠CFB=90°
所以BE⊥CD.
∵BD=BC(已知)
BE=BE(公共边)
∴Rt△BDE≌Rt△BCE(HL)
∴角CBE=角DBE
(全等三角形对应角相等)
∴BE是角CBD的角平分线
∵BD=BC
∴△CBD是等腰三角形
∴BF是△CBD的高
∴CD⊥BE
考点:全等三角形的判定与性质;等腰三角形的性质.专题:证明题.分析:首先根据HL证明Rt△ECB≌Rt△EDB,得出∠EBC=∠EBD,然后根据等腰三角形底边上的高与顶角的平分线重合即可证明.证明:∵ED⊥AB,
∴∠EDB=90°.
在Rt△ECB和Rt△EDB中,
∵EB=EBCB=DB,
∴Rt△ECB≌Rt△EDB(HL),
∴∠EBC=∠EBD,<...
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考点:全等三角形的判定与性质;等腰三角形的性质.专题:证明题.分析:首先根据HL证明Rt△ECB≌Rt△EDB,得出∠EBC=∠EBD,然后根据等腰三角形底边上的高与顶角的平分线重合即可证明.证明:∵ED⊥AB,
∴∠EDB=90°.
在Rt△ECB和Rt△EDB中,
∵EB=EBCB=DB,
∴Rt△ECB≌Rt△EDB(HL),
∴∠EBC=∠EBD,
又∵BD=BC,
∴BF⊥CD,即BE⊥CD.点评:本题考查了全等三角形的判定与性质,等腰三角形“三线合一”的性质,得出∠EBC=∠EBD,是解题的关键.
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