作业帮如图,在正方形ABCD中,E为BC延长线上一点,AE交BD于F,CD于H,G为EH中点,求证:FC⊥CG
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/26 02:36:49
如图,在正方形ABCD中,E为BC延长线上一点,AE交BD于F,CD于H,G为EH中点,求证:FC⊥CG
如图,在正方形ABCD中,E为BC延长线上一点,AE交BD于F,CD于H,G为EH中点,求证:FC⊥CG
如图,在正方形ABCD中,E为BC延长线上一点,AE交BD于F,CD于H,G为EH中点,求证:FC⊥CG
证明：因为AD=DC
∠ADF=∠CDF=45°
DF=DF
∴△ADF≅△CDF
∴∠DAF=∠DCF
因为AD∥BC
∴∠DAH=∠E
∴∠DCF=∠E
因为GH=GE
∠HCE=RT∠
∴GH=GC=GE
∴∠GCE=∠E
∴∠DCF=∠GCE
∴∠DCF+∠HCG=∠GCE+∠HCG=90°
即∠FCG=90°
∴FC⊥CG
证明： 在正方形ABCD中， ∵ ∠ABC=∠BAD=90°（正方形四个角都为90°） 又∵BD为对角线，所以∠ADB=∠CDB（正方形对角线平分对角） ∴在△ADF与△CDF中 AD=CD（正方形的性质） ∠ADB=∠CDB DF=DF（公共边） ∴△ADF≌△CDF（S.A.S） ∴∠DAF=∠DCF（全等三角形对应角相等） ∴∠FAB=∠FCB（等角的余角相等） ∵∠ABC=90° ∴∠FAB+∠AEB=90° ∠DCF+∠FCB=90° 又∵∠FAB=∠FCB ∴∠FAB+∠AEB=∠ ∠DCF+∠FAB ∴∠AEB=∠DCF（等式的性质） 又∵∠DCE=90°G为EH中点 ∴GC=1/2EH=CE（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半） ∴∠GCE=∠AEB（等角对等边） 又∵∠AEB=∠DCF ∴∠DCF=∠GCE ∵∠GCE+∠GCH=90° ∴∠DCF＋∠GCH=90° 即FC⊥CG