作业帮若函数y=f(x)为偶函数,且y=(x-1)为奇函数f(2)=-1,则f(1)+f(2)+……+f(2014)=?
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/15 10:20:12
若函数y=f(x)为偶函数,且y=(x-1)为奇函数f(2)=-1,则f(1)+f(2)+……+f(2014)=?
若函数y=f(x)为偶函数,且y=(x-1)为奇函数f(2)=-1,则f(1)+f(2)+……+f(2014)=?
若函数y=f(x)为偶函数,且y=(x-1)为奇函数f(2)=-1,则f(1)+f(2)+……+f(2014)=?
f(x-1)是f(x)向右平移一个单位得到,它关于原点对称,说明f(x)关于(-1,0)对称
f(x-1)=-f(-x-1) x用x+1代 f(x)=-f(-x-2)=f(-x) , -x用x代 -f(x-2)=f(x)
再写一个 -f(x-4)=f(x-2) 上两式一合并 得f(x)=f(x-4),周期为4
f(1)=f(-1)=0,f(2)=-1,f(3)=f(-1)=0,f(4)=f(0)=-f(-2)=-f(2)=1
故有f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0-1+0+1=0
2014/4=503...2
故有f(1)+f(2)+...+f(2014)=f(1)+f(2)=0-1=-1
由题意可得，f(-x)=f(x)...①,f(x-1)=-f(-x-1)...②
设x-1=t,则-x-1=-t-2,代入②式，得f(t)=-f(-t-2)=-f(t+2) (偶函数)，即f(t)+f(t+2)=0.
如此可得，f(1)+f(3)=0
f(2)+f(4)=0
f(5)+f(7)=...
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由题意可得，f(-x)=f(x)...①,f(x-1)=-f(-x-1)...②
设x-1=t,则-x-1=-t-2,代入②式，得f(t)=-f(-t-2)=-f(t+2) (偶函数)，即f(t)+f(t+2)=0.
如此可得，f(1)+f(3)=0
f(2)+f(4)=0
f(5)+f(7)=0
.
.
f(2012)+f(2014)=0
易知，等式两边相加即得结果：
f(1)+f(2)+...+f(2014)=0
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