已知p(x0,y0)是函数f(x)=lnx图像上一点,过点p的切线与x轴交于B,过点p作x轴的垂线,垂足为A,求点B的坐标(2)若x0属于(0,1),求△PAB的面积S的最大值,并求此时X0的值
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/11/17 19:03:53
已知p(x0,y0)是函数f(x)=lnx图像上一点,过点p的切线与x轴交于B,过点p作x轴的垂线,垂足为A,求点B的坐标(2)若x0属于(0,1),求△PAB的面积S的最大值,并求此时X0的值
已知p(x0,y0)是函数f(x)=lnx图像上一点,过点p的切线与x轴交于B,过点p作x轴的垂线,垂足为A,求点B的坐标
(2)若x0属于(0,1),求△PAB的面积S的最大值,并求此时X0的值
已知p(x0,y0)是函数f(x)=lnx图像上一点,过点p的切线与x轴交于B,过点p作x轴的垂线,垂足为A,求点B的坐标(2)若x0属于(0,1),求△PAB的面积S的最大值,并求此时X0的值
第一个问题:
∵f(x)=lnx,∴求导数,得:f′(x)=1/x,∴过点(x0,y0)的切线的斜率=1/x0.
设点B的坐标为(m,0),则(y0-0)/(x0-m)=1/x0,∴x0y0=x0-m,∴m=x0-x0y0.
即点B的坐标是(x0-x0y0,0).
第二个问题:
∵P的坐标是(x0,y0),又PA⊥x轴,∴A的坐标是(x0,0).
显然,|AB|=|(x0-x0y0)-x0|=|x0y0|, |PA|=|y0|.
∴△PAB的面积S=(1/2)|AB||PA|=(1/2)|x0y0||y0|=(1/2)x0y0^2.
自然,有:y0=lnx0, ∴S=(1/2)x0(lnx0)^2.
求导数,得:
S′=(1/2)(lnx0)^2+(1/2)x0(2lnx0)(1/x0)=(1/2)(lnx0)^2+lnx0.
S″=lnx0(1/x0)+1/x0.
令S′=0,得:(1/2)(lnx0)^2+lnx0=0.
∵x0∈(0,1),∴inx0<0,∴方程(1/2)(lnx0)^2+lnx0=0两边同除以lnx0,得:
(1/2)lnx0+1=0,∴lnx0=-2,∴x0=e^(-2)=1/e^2.
此时,S″=lnx0(1/x0)+1/x0=-2[1/e^(-2)]+1/e^(-2)<0.
∴当x0=e^(-2)时,S取得最大值.
此时S=(1/2)[e^(-2)][lne^(-2)]^2=(1/2)×(-2)^2/e^2=2/e^2.
即:当x0=1/e^2时,△PAB的面积最大,且最大值是2/e^2.