已知a是实数,函数f(x)=x²(x-a).若f′(1)=3,(1)求a值及曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(2)求f(x)在区间[0,2]上的最大值.
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/08/02 04:02:34
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已知a是实数,函数f(x)=x²(x-a).若f′(1)=3,(1)求a值及曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(2)求f(x)在区间[0,2]上的最大值.
已知a是实数,函数f(x)=x²(x-a).若f′(1)=3,(1)求a值及曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(2)求f(x)在区间[0,2]上的最大值.
已知a是实数,函数f(x)=x²(x-a).若f′(1)=3,(1)求a值及曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(2)求f(x)在区间[0,2]上的最大值.
(1)
∵f(x)=x^2(x-a)=x^3-ax^2
∴f’(x)=3x^2-2ax
∵f’(1)=3
∴3-2a=3
∴a=0
∴f(x)=x^3,f’(x)=3x^2
∴f(1)=1
∴切线方程就是y-1=3(x-1),即y=3x-2.
(2)
∵f’(x)=3x^2≥0
∴f(x)在[0,2]上单调递增
∴最大值为f(2)=8.
(I)求出f'(x),利用f'(1)=3得到a的值,然后把a代入f(x)中求出f(1)得到切点,而切线的斜率等于f'(1)=3,写出切线方程即可;
(II)令f'(x)=0求出x的值,利用x的值分三个区间讨论f'(x)的正负得到函数的单调区间,根据函数的增减性得到函数的最大值.
(I)f'(x)=3x2-2ax.因为f'(1)=3-2a=3,所以a=0.
又当a=0时,f(...
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(I)求出f'(x),利用f'(1)=3得到a的值,然后把a代入f(x)中求出f(1)得到切点,而切线的斜率等于f'(1)=3,写出切线方程即可;
(II)令f'(x)=0求出x的值,利用x的值分三个区间讨论f'(x)的正负得到函数的单调区间,根据函数的增减性得到函数的最大值.
(I)f'(x)=3x2-2ax.因为f'(1)=3-2a=3,所以a=0.
又当a=0时,f(1)=1,f'(1)=3,则切点坐标(1,1),斜率为3
所以曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程为y-1=3(x-1)化简得3x-y-2=0.
(II)令f'(x)=0,解得 x1=0,x2=2a/3.
当 2a/3≤0,即a≤0时,f(x)在[0,2]上单调递增,从而fmax=f(2)=8-4a.
当 2a/3≥2时,即a≥3时,f(x)在[0,2]上单调递减,从而fmax=f(0)=0.
当 0<2a/3<2,即0<a<3,f(x)在 [0,2a/3]上单调递减,在 [2a/3,2]上单调递增,从而 fmax={8-4a,0<a≤2.
0,2<a<3.
综上所述, fmax={8-4a,a≤2
.0,a>2.
收起
为什么8-4a在0<a≤2范围里