作业帮数学分析基础题…求大神 图里的1.2.6
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/28 08:46:51
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数学分析基础题…求大神 图里的1.2.6
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充分性:
若f和g都有反函数,那么任取z∈Z,存在唯一的y∈Y使得z=g(y),又存在唯一的x∈X使得f(x)=y,所以(g o f)(x)=g(f(x))=g(y)=z,说明g o f是满射.若g(f(x1))=g(f(x2)),利用可逆性得f(x1)=f(x2),进一步x1=x2,所以g o f也是单射.
必要性:
若g o f可逆,
若f不可逆,那么存在x1≠x2使得f(x1)=f(x2),这样g(f(x1))=g(f(x2))
若g不可逆,那么存在y1≠y2使得g(y1)=g(y2),由于f是满射,存在x1,x2使得y1=f(x1),y2=f(x2),也得到g(f(x1))=g(f(x2))
不论哪种情况,两边作用(g o f)^{-1}得x1=x2,矛盾.
至于(g o f)^{-1}=f^{-1} o g^{-1},按充分性的方法证就行了.