作业帮三角形和梯形中位线正方形ABCD中,对角线AC、BD交于点O,E为OD中点,F为BC中点,连结AE、EF,求证：AE垂直于EF图,你自己画吧,我发不上来,限时一天.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/16 13:46:37
三角形和梯形中位线正方形ABCD中,对角线AC、BD交于点O,E为OD中点,F为BC中点,连结AE、EF,求证：AE垂直于EF图,你自己画吧,我发不上来,限时一天.
三角形和梯形中位线
正方形ABCD中,对角线AC、BD交于点O,E为OD中点,F为BC中点,连结AE、EF,求证：AE垂直于EF
图,你自己画吧,我发不上来,限时一天.
三角形和梯形中位线正方形ABCD中,对角线AC、BD交于点O,E为OD中点,F为BC中点,连结AE、EF,求证：AE垂直于EF图,你自己画吧,我发不上来,限时一天.
应用勾股定理即可.
为方便计算,设正方形边长为4a,那么连接AF,有
在直角三角形ABF中,AB=4a,BF=2a,则AF=2√5a
在直角三角形AOE中,AO=2√2a,OE=√2a,则AE=√10a
作EG⊥BC于G,连接OF,则EG为梯形OFCD的中位线,有FG=a,EG=3a
在直角三角形EFG中,EF=√10a
EF*EF+AE*AE=AF*AF=20a^2
由勾股定理即可证明△AEF为直角三角形.所以 AE⊥EF
设正方形的边长为4a
过F作FG⊥BC于G,连接OE、AE，延长GF交AD于H点
OA=AB/√2=4a/√2=2√2a,OF=OA/2=√2a
则AF^2=OA^2+OF^2=(2√2a)^2+(√2a)^2=10a^2
很明显三角形DFH是等腰直角三角形，DH=HF
所以:DH^2+HF^2=2DH^2=DF^2,可得出DH=DF/√2=√2a/√...
全部展开
设正方形的边长为4a
过F作FG⊥BC于G,连接OE、AE，延长GF交AD于H点
OA=AB/√2=4a/√2=2√2a,OF=OA/2=√2a
则AF^2=OA^2+OF^2=(2√2a)^2+(√2a)^2=10a^2
很明显三角形DFH是等腰直角三角形，DH=HF
所以:DH^2+HF^2=2DH^2=DF^2,可得出DH=DF/√2=√2a/√2=a
可知:FG=GH-FH=4a-a=3a，EG=CE/2=BC/4=a
则EF^2=EG^2+FG^2=a^2+(3a)^2=10a^2
而AE^2=AB^2+BE^2=(4a)^2+(2a)^2=20a^2
因为 AF^2+EF^2=AE^2
所以 AF⊥EF
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一楼用的是代数的方法，就是把勾股定理用上去，把三角形AEF用数表示出来，确实是可以的，你只要思路清楚，一条边一条边去求，就一定可以解出来的
下面介绍一种集合法
只要证明AE=EF，角EAF=45度
然后证明三角形ABF相似AOE,所以角BAF=角EAO，由于角BAO=45度，所以角EAF=45度
然后证AE=EF，而AE=CE,EF=CE是很容易证得，于是AE=EF...
全部展开
一楼用的是代数的方法，就是把勾股定理用上去，把三角形AEF用数表示出来，确实是可以的，你只要思路清楚，一条边一条边去求，就一定可以解出来的
下面介绍一种集合法
只要证明AE=EF，角EAF=45度
然后证明三角形ABF相似AOE,所以角BAF=角EAO，由于角BAO=45度，所以角EAF=45度
然后证AE=EF，而AE=CE,EF=CE是很容易证得，于是AE=EF就得出来了
最后底角为45度的等腰三角形就可以说明角AEF=90度
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