已知函数f(x)=x+sinx,求实数a的取值范围,使不等式f(x)≥axcosx在[0,π/2]上恒成立.是2012苏中模拟19题,但不知道答案中为什么a那样分类的
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/11 20:45:10
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已知函数f(x)=x+sinx,求实数a的取值范围,使不等式f(x)≥axcosx在[0,π/2]上恒成立.是2012苏中模拟19题,但不知道答案中为什么a那样分类的
已知函数f(x)=x+sinx,求实数a的取值范围,使不等式f(x)≥axcosx在[0,π/2]上恒成立.
是2012苏中模拟19题,但不知道答案中为什么a那样分类的
已知函数f(x)=x+sinx,求实数a的取值范围,使不等式f(x)≥axcosx在[0,π/2]上恒成立.是2012苏中模拟19题,但不知道答案中为什么a那样分类的
设Q(x)=g(x)-f(x)=axcosx-x-sinx,x∈[0,π / 2 ],
1、当a≤0时,axcosx-x-sinx
(2)依题意得,设Q(x)=g(x)-f(x)=axcosx-x-sinx,x∈[0,π / 2 ],
1°当a≤0时,Q(x)≤0恒成立; …(8分)
2°当a>0时,Q'(x)=(a-1)cosx-axsinx-1,…(10分)
①0<a≤2时,Q'(x)≤0,Q(x)在[0,π/ 2 ]上单调递减,
所以Q(x)≤Q(0)=0恒成立;…(12分)<...
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(2)依题意得,设Q(x)=g(x)-f(x)=axcosx-x-sinx,x∈[0,π / 2 ],
1°当a≤0时,Q(x)≤0恒成立; …(8分)
2°当a>0时,Q'(x)=(a-1)cosx-axsinx-1,…(10分)
①0<a≤2时,Q'(x)≤0,Q(x)在[0,π/ 2 ]上单调递减,
所以Q(x)≤Q(0)=0恒成立;…(12分)
②a>2时,注意到当x∈[0, π/ 2 ]时,x≥sinx,
于是Q(x)=axcosx-x-sinx≥axcosx-2x=x(acosx-2),
必存在x0∈(0,π / 2 ),使得当x∈(0,x0)时,有Q(x0)>0,不能使Q(x)≤0恒成立.
综上所述,实数a的取值范围为a≤2. …(16分)
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