设函数f(x)=In(1+x)-2x/(x+2),证明：当x>0时,f(x)>0

设函数f(x)=In(1+x)-2x/(x+2),证明：当x>0时,f(x)>0
设函数f(x)=In(1+x)-2x/(x+2),证明：当x>0时,f(x)>0

设函数f(x)=In(1+x)-2x/(x+2),证明：当x>0时,f(x)>0
f(x) = ln(1+x) - 2x/(x+2)
f'(x) = 1/(1+x) - 2 [(x+2)-x]/(x+2)^2
= 1/(1+x) - 4/(x+2)^2
= [(x+2)^2 - 4(1+x)]/[(1+x)(x+2)^2]
= x^2/[(1+x)(x+2)^2] > 0 ( for x >0)
f(0) = 0
f(x)> f(0) = 0
ie f(x) > 0

f'(X) 在 x>0 是为正
f(0)=0
可得f(x>0)>0

f'(x)=1/(1+x)-2/(x+2)(x+2)
令f'(x)=0
得x=-1
当X>-1时,f'(x)>0,所以f(x)在(-1,正无穷)单调递增
f(0)=0,所以当x>0,f(0)>0

求导：
f"（x）=1/(x+1)-[2(x+2)-2x]/(x+2)^2 =1/(x+1)-4/(x+2)^2
=[(x+2)^2-4(x+1)]/[(x+1)(x+2)^2]=x^2/[(x+1)(x+2)^2]
因为x>0，所以x^2>0,x+1>0,（x+2）^2>0,即f"(x)>0,所以f（x）在x>0时是一个增函数
所以f（x）>f（0）=0即f（x）>0.