椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的离心率e=√2/2,直线x+y+1=0交于椭圆A,B两点,且OA垂直OB,求椭圆方程

椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的离心率e=√2/2,直线x+y+1=0交于椭圆A,B两点,且OA垂直OB,求椭圆方程
椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的离心率e=√2/2,直线x+y+1=0交于椭圆A,B两点,且OA垂直OB,求椭圆方程

椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的离心率e=√2/2,直线x+y+1=0交于椭圆A,B两点,且OA垂直OB,求椭圆方程
∵e＝√（a^2－b^2）/a＝√2/2,∴a^2－b^2＝a^2/2,∴a^2＝2b^2.
设椭圆与直线的交点坐标是A（m,n）,B（p,q）.
将直线方程改写成：y＝－x－1,代入椭圆方程中,得：x^2/a^2＋（－x－1）^2/b^2＝1,
∴x^2/（2b^2）＋（－x－1）^2/b^2＝1,∴x^2＋2（x＋1）^2＝2b^2,
∴x^2＋x^2＋2x＋2＝2b^2,∴3x^2＋2x＋2－2b^2＝0.
很明显,m、p的值是方程3x^2＋2x＋2－2b^2＝0的两根,由韦达定理,有：
m＋p＝－2/3,　mp＝（2－2b^2）/3.
∵OA⊥OB,又OA的斜率＝n/m,OB的斜率＝q/p,∴nq/（mp）＝－1,
而显然有：n＝－m－1,　q＝－p－1,∴（－m－1）（－p－1）/（mp）＝－1,
∴［mp＋（m＋p）＋1］/（mp）＝－1,∴mp＋（m＋p）＋1＝－mp,
∴（m＋p）＝－2mp－1,∴（2－2b^2）/3＝－2×（－2/3）－1＝－1/3,
∴2－2b^2＝－1,∴2b^2＝3,∴b^2＝3/2,得：a^2＝2b^2＝3.
∴要求的椭圆方程是：x^2/3＋y^2/（3/2）＝1.

∵离心率e=√2/2 ，∴c/a=√2/2 ，∵a>b>0∴a²=2b² 代入椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1
得x²/2b²+y²/b²=1 直线x+y+1=0交于椭圆A,B两点 求得两点坐标{[√(6b²-2)-2]/3,[-√(6b²-2)-1]/3}和
{[-√(6b²-2)-2...

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∵离心率e=√2/2 ，∴c/a=√2/2 ，∵a>b>0∴a²=2b² 代入椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1
得x²/2b²+y²/b²=1 直线x+y+1=0交于椭圆A,B两点 求得两点坐标{[√(6b²-2)-2]/3,[-√(6b²-2)-1]/3}和
{[-√(6b²-2)-2]/3,[√(6b²-2)-1]/3} OA垂直OB，则KOA*KOB=-1 得b²=3/4，a²=3/2
椭圆方程x²/(3/2)+y²/(3/4)=1

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将直线方程改写成：y＝－x－1，代入椭圆方程中，得：x^2/a^2＋（－x－1）^2/b^2＝1，
∴x^2/（2b^2）＋（－x－1）^2/b^2＝1，∴x^2＋2（x＋1）^2＝2b^2，
∴x^2＋x^2＋2x＋2＝2b^2，∴3x^2＋2x＋2－2b^2＝0。
是这样的，m、p的值是方程3x^2＋2x＋2－2b^2＝0的两根，由韦达定理，有：
m＋p＝－2/...

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将直线方程改写成：y＝－x－1，代入椭圆方程中，得：x^2/a^2＋（－x－1）^2/b^2＝1，
∴x^2/（2b^2）＋（－x－1）^2/b^2＝1，∴x^2＋2（x＋1）^2＝2b^2，
∴x^2＋x^2＋2x＋2＝2b^2，∴3x^2＋2x＋2－2b^2＝0。
是这样的，m、p的值是方程3x^2＋2x＋2－2b^2＝0的两根，由韦达定理，有：
m＋p＝－2/3，　mp＝（2－2b^2）/3。
∵OA⊥OB，又OA的斜率＝n/m，OB的斜率＝q/p，∴nq/（mp）＝－1，
明显有：n＝－m－1，　q＝－p－1，∴（－m－1）（－p－1）/（mp）＝－1，
∴［mp＋（m＋p）＋1］/（mp）＝－1，∴mp＋（m＋p）＋1＝－mp，
∴（m＋p）＝－2mp－1，∴（2－2b^2）/3＝－2×（－2/3）－1＝－1/3，
∴2－2b^2＝－1，∴2b^2＝3，∴b^2＝3/2，得：a^2＝2b^2＝3。
∴要求的椭圆方程是：x^2/3＋y^2/（3/2）＝1。

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