已知直线y=-x+1与椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a＞b＞0)相交于A.B两点,且OA⊥OB求椭圆离心率为1/2时椭圆方程

已知直线y=-x+1与椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a＞b＞0)相交于A.B两点,且OA⊥OB求椭圆离心率为1/2时椭圆方程
已知直线y=-x+1与椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a＞b＞0)相交于A.B两点,且OA⊥OB求椭圆离心率为1/2时椭圆方程

已知直线y=-x+1与椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a＞b＞0)相交于A.B两点,且OA⊥OB求椭圆离心率为1/2时椭圆方程
将 y= -x+1 代入椭圆方程,得 x^2/a^2+(-x+1)^2/b^2=1 ,-----------（1）
因为椭圆离心率 e=1/2 ,因此 e^2=(a^2-b^2)/a^2=1/4 ,
所以 a^2=4/3*b^2 ,
代入（1）式并化简得 7x^2-8x-4b^2+4=0 ,
设 A（x1,y1）,B（x2,y2）,
则 x1+x2=8/7 ,x1*x2=(-4b^2+4)/7 ,
因此 y1*y2=(-x1+1)(-x2+1)=x1x2-(x1+x2)+1=(-4b^2+3)/7 ,
由于 OA丄OB ,因此向量 OA*OB=0 ,
即 x1*x2+y1*y2=0 ,
所以 (-4b^2+4)/7+(-4b^2+3)/7=0 ,
解得 b^2=7/8 ,代入得 a^2=7/6 ,
因此椭圆方程为 x^2/(7/6)+y^2/(7/8)=1 .