已知F1(-2,0),F2(2,0),点P满足|PF1|-|PF2|=2,记点P的轨迹为S,若直线l过点F2且与轨迹S交于P、Q两点.
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/26 09:58:47
![已知F1(-2,0),F2(2,0),点P满足|PF1|-|PF2|=2,记点P的轨迹为S,若直线l过点F2且与轨迹S交于P、Q两点.](/uploads/image/z/11707864-16-4.jpg?t=%E5%B7%B2%E7%9F%A5F1%28%EF%BC%8D2%2C0%29%2CF2%282%2C0%29%2C%E7%82%B9P%E6%BB%A1%E8%B6%B3%7CPF1%7C%EF%BC%8D%7CPF2%7C%EF%BC%9D2%2C%E8%AE%B0%E7%82%B9P%E7%9A%84%E8%BD%A8%E8%BF%B9%E4%B8%BAS%2C%E8%8B%A5%E7%9B%B4%E7%BA%BFl%E8%BF%87%E7%82%B9F2%E4%B8%94%E4%B8%8E%E8%BD%A8%E8%BF%B9S%E4%BA%A4%E4%BA%8EP%E3%80%81Q%E4%B8%A4%E7%82%B9.)
已知F1(-2,0),F2(2,0),点P满足|PF1|-|PF2|=2,记点P的轨迹为S,若直线l过点F2且与轨迹S交于P、Q两点.
已知F1(-2,0),F2(2,0),点P满足|PF1|-|PF2|=2,记点P的轨迹为S,若直线l过点F2且与轨迹S交于P、Q两点.
已知F1(-2,0),F2(2,0),点P满足|PF1|-|PF2|=2,记点P的轨迹为S,若直线l过点F2且与轨迹S交于P、Q两点.
(1)由|PF1|-|PF2|=2<|F1F2|知,
点P的轨迹S是以F1、F2为焦点的双曲线右支
由c=2,2a=2,∴b2=3
故轨迹S的方程为x2-y23=1(x≥1)
(2)当直线l的斜率存在时,设直线方程为y=k(x-2),
P(x1,y1),Q(x2,y2)
与双曲线方程联立消y得(k2-3)x2-4k2x+4k2+3=0.
∴解得k2>3
∵MP•MQ=(x1-m)(x2-m)+y1y2
=(x1-m)(x2-m)+k2(x1-2)(x2-2)
=(k2+1)x1x2-(2k2+m)(x1+x2)+m2+4k2
=3-(4m+5)k2k2-3+m2
∵MP⊥MQ,∴MP•MQ=0,
故得3(1-m2)+k2(m2-4m-5)=0对任意的k2>3恒成立,
∴1-m2=0,m2-4m-5=0,解得m=-1
当m=-1时,MP⊥MQ,
当直线l的斜率不存在时,由P(2,3),Q(2,-3)及M(-1,0)知结论也成立.
综上,当m=-1时,MP⊥MQ.
(3)由(1)知,存在M(-1,0)使得MP⊥MQ,
∴∠AEP=∠MEF=∠BQF,∴△PAE~△FBE,
|AE|•|FB|=|AP|•|BQ|=|PF2|e•|QF2|e=14|PF2|•|OF2|,
|PF2|=ex1-a=2x1-1,|PF2|=ex2-a=2x2-1,
∴|AE||FB|=14(2x1-1)(2x2-1)
=14[4x1x2-2(x1+x2)+1]=x1x2-x1+x22+14
当斜率不存在时|AE|•|AF|=94,∴λ的最小值为94
此时,|PQ|=6,|MF|=3,S△PMQ=12|MQ|•|PQ|=9