设在椭圆X^2/a^2+Y^2/b^2=1(a>b>0)上有一点P,它与两个焦点的连线互相垂直,求这个椭圆的离心率.

设在椭圆X^2/a^2+Y^2/b^2=1(a>b>0)上有一点P,它与两个焦点的连线互相垂直,求这个椭圆的离心率.
设在椭圆X^2/a^2+Y^2/b^2=1(a>b>0)上有一点P,它与两个焦点的连线互相垂直,求这个椭圆的离心率.

设在椭圆X^2/a^2+Y^2/b^2=1(a>b>0)上有一点P,它与两个焦点的连线互相垂直,求这个椭圆的离心率.
可设点P(acost,bsint),(t∈R,且sint≠0).又F1(-c,0),F2(c,0).由题设可知,向量F1P·向量F2P=0.即(acost+c,bsint)·(acost-c,bsint)=0.===>a²cos²t-c²+b²sin²t=0.===>a²cos²t-c²+a²sin²t-c²sin²t=0.===>a²-c²=c²sin²t.===>1-e²=e²sin²t,===>e²=1/(1+sin²t).∴1/2≤e²＜1.===>√2/2≤e＜1.即椭圆的离心率e的取值范围是[√2/2,1).