设f(x)=x(x-1)(x-2).(x-1000) 则f'(0)=?RT

设f(x)=x(x-1)(x-2).(x-1000) 则f'(0)=?RT
设f(x)=x(x-1)(x-2).(x-1000) 则f'(0)=?
RT

设f(x)=x(x-1)(x-2).(x-1000) 则f'(0)=?RT
f(x)=x(x-1)(x-2).(x-1000)
=x^1001+a[1000]*x^1000+a[999]*x^999+...+
a[2]*x^2+1000!*x,
其中a[1000],a[999],...,a[2]是一些常系数.
所以
f'(x)=1001*x^1000+1000*a[1000]*x^999+
999*a[999]*x^998+...+2*a[2]*x+1000!,
从而f'(0)=1000!

只考虑带X项的系数！即1000的阶乘！

f(x)=x^1001+ax^1000......mx+1000!
求导后 f'(0)=m=1000!+1000!/2+1000!/3+1000!/4=1000!(1+1/2+1/3+1/4.......1/1000)

因为x^n 当n>1时，其导数在x=0处必为0，并且常数项导数也为0，故求f'(0)=???实际上就是求f(x)的展开式x的一次项的系数。
f(x)一次项的系数M可表示为：
M = [1000!/1] + [1000!/(-1)] + [1000!/(-2)] + …… + [1000!/(-999)] + [1000!/(-1000)] (理解此式本题也就得以解决）

全部展开

因为x^n 当n>1时，其导数在x=0处必为0，并且常数项导数也为0，故求f'(0)=???实际上就是求f(x)的展开式x的一次项的系数。
f(x)一次项的系数M可表示为：
M = [1000!/1] + [1000!/(-1)] + [1000!/(-2)] + …… + [1000!/(-999)] + [1000!/(-1000)] (理解此式本题也就得以解决）
“第一项和第二项抵消”
= 1000！ (-1)∑(1/n)"n从2到1000"
= - 1000!∑(1/n)"n从2到1000"
````````````````````````````````````````1000
得f(x)的展开式x的一次项的系数为 - 1000! ∑(1/n)
````````````````````````````````````````n=2

收起

f'(x)=x'*(x-1)(x-2)..........(x-1000) +x*[(x-1)(x-2)..........(x-1000)]';
f'(0)=1*(0-1)(0-2).........(0-1000)+0*[(x-1)(x-2)..........(x-1000)]'=(-1)*(-2).......(-1000)=1000！