作业帮微分方程问题
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/06 09:55:41
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微分方程问题微分方程问题
解微分方程：(2xsinycosy)(dy/dx)=4x²+sin²y
先求(2xsinycosy)(dy/dx)=sin²y的通
分离变量得(coty)dy=dx/(2x)；积分之,得lnsiny=(1/2)lnx+lnC₁=ln[C₁√x)
故得siny=C₁√x；
将C₁换成x的函数u,得siny=u√x.(1)
两边对x取导数得：(cosy)(dy/dx)=u/(2√x)+(√x)(du/dx).(2)
将(1)和(2)代入原方程得：
2xu(√x)[u/(2√x)+(√x)(du/dx)]=4x²+u²x
即有 u²x+2ux²(du/dx)=4x²+u²x
消去同类项得2ux²(du/dx)=4x²,即有u(du/dx)=2；
故得udu=2dx,积分之得(1/2)u²=2x+C/2,即有u²=4x+C,故u=√(4x+C)；
代入(1)式即得 siny=√(4x²+Cx)；故通解为y=arcsin√(4x²+Cx).
