作业帮求线性空间的维数和易组基复数域C对通常数的加法和乘法构成复数域C上的线性空间复数域C对通常数的加法和乘法构成复数域R上的线性空间.能解释下啥区别不?
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/06 08:12:04
求线性空间的维数和易组基复数域C对通常数的加法和乘法构成复数域C上的线性空间复数域C对通常数的加法和乘法构成复数域R上的线性空间.能解释下啥区别不?
求线性空间的维数和易组基
复数域C对通常数的加法和乘法构成复数域C上的线性空间
复数域C对通常数的加法和乘法构成复数域R上的线性空间.
能解释下啥区别不?
求线性空间的维数和易组基复数域C对通常数的加法和乘法构成复数域C上的线性空间复数域C对通常数的加法和乘法构成复数域R上的线性空间.能解释下啥区别不?
公理化定义
给定域 F,一个线性空间即（向量空间）是个集合 V 并规定两个运算：
向量加法：V × V → V 记作 v + w,∃ v,w ∈ V,
标量乘法：F × V → V 记作 a v,∃a ∈ F 及 v ∈ V.
符合下列公理 (∀ a,b ∈ F 及 u,v,w ∈ V)：
向量加法结合律：u + (v + w) = (u + v) + w.
向量加法交换律:v + w = w + v.
向量加法的单位元:V 里有一个叫做零向量的 0,∀ v ∈ V ,v + 0 = v.
向量加法的逆元素:∀v∈V,∃w∈V,导致 v + w = 0.
标量乘法分配于向量加法上:a(v + w) = a v + a w.
标量乘法分配于域加法上:(a + b)v = a v + b v.
标量乘法一致于标量的域乘法:a(b v) = (ab)v.
标量乘法有单位元:1 v = v,这里 1 指示域 F 的乘法单位元.
有些教科书还强调以下两个闭包公理：
V 闭合在向量加法下：v + w ∈ V.
V 闭合在标量乘法下:a v ∈ V.
简而言之,向量空间是一个F-模.
V的成员叫作向量而F的成员叫作标量
若F是实数域R,V称为实数向量空间.
若F是复数域C,V称为复数向量空间.
若F是有限域,V称为有限域向量空间
对一般域F,V称为F-向量空间
基础特性
首5个公理是说明向量V在向量加法中是个可换群.余下的5个公理应用于标量乘法.
这些都是一些特性很容易从向量空间公理推展出来的.如下:
零向量 0 ∈ V (公理3) 是唯一的.
a 0 = 0 ∀ a ∈ F.
0 v = 0 ∀ v ∈ V 这里 0 是F的加法单位元.
a v = 0 ,则可以推出要么 a = 0 ,要么 v = 0.
可加的逆元向量 v (公理4) 是唯一的.(写成−v).这个写法v − w 及 v + (−w) 都是标准的.
(−1)v = −v ∀ v ∈ V.
(−a)v = a(−v) = −(av) ∀ a ∈ F ,∀ v ∈ V.
子空间及基
一个向量空间 V 的一个非空子集合 W 在加法及标量乘法中表现密闭性,被称为 V 的线性子空间.
给出一个向量集合 B,那么包含它的最小子空间就称为它的扩张,纪作 span(B).
给出一个向量集合 B,若它的扩张就是向量空间 V,则称 B 为 V 的生成集.
一个向量空间 V 最大的线性独立子集,称为这个空间的基.若 V=0,唯一的基是空集.对非零向量空间 V,基是 V 最小的生成集.
如果一个向量空间 V 拥有一个元素个数有限的生成集,那么就称 V 是一个有限维空间.向量空间的所有基拥有相同基数,称为该空间的维度.例如,实数向量空间：R0,R1,R2,R3,…,R∞,…中,Rn 的维度就是 n.