求椭圆M离心率e取值范围椭圆的左、右焦点分别为,P为椭圆M上任一点,且的取值范围是则椭圆M的离心率e的取值范围是 上面的范围改为
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/09 07:44:50
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求椭圆M离心率e取值范围椭圆的左、右焦点分别为,P为椭圆M上任一点,且的取值范围是则椭圆M的离心率e的取值范围是 上面的范围改为
求椭圆M离心率e取值范围
椭圆的左、右焦点分别为
,P为椭圆M上任一点,且
的取值范围是
则椭圆M的离心率e的取值范围是
上面的范围改为
求椭圆M离心率e取值范围椭圆的左、右焦点分别为,P为椭圆M上任一点,且的取值范围是则椭圆M的离心率e的取值范围是 上面的范围改为
设P(m,n),满足方程m²/a²+n²/b²=1;
PF₁=(-c-m,-n); PF₂=(c-m,-n);
故PF₁•PF₂=-(c+m)(c-m)+n²=-(c²-m²)+n²=-c²+m²+n²;
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设P(m,n),满足方程m²/a²+n²/b²=1;
PF₁=(-c-m,-n); PF₂=(c-m,-n);
故PF₁•PF₂=-(c+m)(c-m)+n²=-(c²-m²)+n²=-c²+m²+n²;
已知c²≦-c²+m²+n²≦3c²,于是得2c²≦m²+n²≦4c² ;其中m²+n²=ρ²,ρ为椭圆上的动点P到原点
的距离。ρmax=a,ρmin=b;故得a²=4c²,由此得mine²=1/4;即mine=1/2;b²=2c²,即a²-c²=2c²
由此得a²=3c²,maxe²=1/3,即maxe=1/√3=√3/3。
即离心率的范围为1/2≦e≦(√3)/3.
收起
由题意可知F1(-c,0),F2(c,0),设点P为(x,y) x2 a2 + y2 b2 =1∴x2= a2 (b2-y2) b2 PF1 =(-c-x,-y), PF2 =(c-x,-y) PF1 •PF2 =x2-c2+y2= a2 (b2-y2) b2 -c2+y2 c2y2 b2 PF1 •PF2 取到最大值a2-c2,即c2≤a2-c2≤3c2, 2 c≤a≤2c, 1 2 ≤e≤ 2 2 .故椭圆m的离心率e的取值范围[ 1 2 , 2 2 ].
∵
∴
∴
=a2-c2-
当y=0时
∴
∴如果对你有帮助,望采纳,答题不易