作业帮已知△ABC的一角为60°,面积为2√3,求△ABC周长最小值
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/16 05:33:50
已知△ABC的一角为60°,面积为2√3,求△ABC周长最小值
已知△ABC的一角为60°,面积为2√3,求△ABC周长最小值
已知△ABC的一角为60°,面积为2√3,求△ABC周长最小值
设角A=60
1/2*bc*sin60=2√3
则bc=8
又a2=b2+c2-2bccos60
a2=b2+c2-8=(b+c)^2-24
周长C=√[(b+c)^2-24]+(b+c)
b+c增加,周长也增加
所以当b+c代入最小值,周长最小
而b+c>=2√bc=4√2
所以周长最小值为：6√2
设ab=x
ac=y
bc=z
△ABC的一角为60° 且这个角就是角a
1/2 * sin60°*（ab）*（ac）=2√3 这是面积公式
则x*y=8
因为角a为60度 所以他一定不是最长的边也不是最短的边 角的大小对应边长短 极端情况三边相等三角相等 所以我们假设x>=z>=y
周长=x+y+z=8/Y+y+z>=8/y+2...
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设ab=x
ac=y
bc=z
△ABC的一角为60° 且这个角就是角a
1/2 * sin60°*（ab）*（ac）=2√3 这是面积公式
则x*y=8
因为角a为60度 所以他一定不是最长的边也不是最短的边 角的大小对应边长短 极端情况三边相等三角相等 所以我们假设x>=z>=y
周长=x+y+z=8/Y+y+z>=8/y+2y 这里直接用不等式（a+b>=2√ab）可得>=2√16=8
所以最小为8
收起
已知△ABC，则对应的边分别为a,b,c
又已知其中的一个角为60°，则设∠B=60°，
∵△ABC的面积=1/2 ah
∠B的正弦值=h/c
∴h=1/2 c
则2√3=1/2 a 1/2 c
ac=8
∵b2=a2+c2-2acCOS60
b2=a2+c2-ac
b2=(a+c)2-3ac
...
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已知△ABC，则对应的边分别为a,b,c
又已知其中的一个角为60°，则设∠B=60°，
∵△ABC的面积=1/2 ah
∠B的正弦值=h/c
∴h=1/2 c
则2√3=1/2 a 1/2 c
ac=8
∵b2=a2+c2-2acCOS60
b2=a2+c2-ac
b2=(a+c)2-3ac
b=√(a+c)2-24
∵a+c≥2√ac
b≥2√2
△ABC周长=a+b+c
≥2√ac+b
≥4√2+2√2
≥ 6√2
最小值只能取6√2
收起
6√2
在⊿ABC中，不妨设∠B=60º,由三角形面积公式可知：
S=(1/2)acsinB=(ac/2)sin60º=2√3.
∴ac=8.
可设a=x, (x＞0,)则c=8/x.
由余弦定理可得：cosB=(a²+c²-b²)/(2ac).即：
1/2=[x²+(8/x) ²-b²...
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在⊿ABC中，不妨设∠B=60º,由三角形面积公式可知：
S=(1/2)acsinB=(ac/2)sin60º=2√3.
∴ac=8.
可设a=x, (x＞0,)则c=8/x.
由余弦定理可得：cosB=(a²+c²-b²)/(2ac).即：
1/2=[x²+(8/x) ²-b²]/16.
∴b²=x²+(8/x) ²-8=[x+(8/x)] ²-24.
∴令t=x+(8/x).则周长C=t+√(t²-24).
由“基本不等式”可知：t=x+(8/x) ≥4√2.等号仅当x=2√2时取得。
又易知，关于t的函数C=t+√(t²-24)在[4√2,+ ∞）上递增，
∴当t=4√2时，Cmin=6√2.
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