作业帮已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=-f(x）,当0≤X≤1时,f(x)=1/2x,求使F(X)=-1/2在[0,2010]上的所有X的个数.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/28 03:08:20
![已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=-f(x）,当0≤X≤1时,f(x)=1/2x,求使F(X)=-1/2在[0,2010]上的所有X的个数.](/uploads/image/z/12428337-57-7.jpg?t=%E5%B7%B2%E7%9F%A5%E5%AE%9A%E4%B9%89%E5%9C%A8R%E4%B8%8A%E7%9A%84%E5%A5%87%E5%87%BD%E6%95%B0f%28x%29%E6%BB%A1%E8%B6%B3f%28x%2B2%29%3D-f%28x%EF%BC%89%2C%E5%BD%930%E2%89%A4X%E2%89%A41%E6%97%B6%2Cf%28x%29%3D1%2F2x%2C%E6%B1%82%E4%BD%BFF%28X%29%3D-1%2F2%E5%9C%A8%5B0%2C2010%5D%E4%B8%8A%E7%9A%84%E6%89%80%E6%9C%89X%E7%9A%84%E4%B8%AA%E6%95%B0.)
已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=-f(x）,当0≤X≤1时,f(x)=1/2x,求使F(X)=-1/2在[0,2010]上的所有X的个数.
已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=-f(x）,当0≤X≤1时,f(x)=1/2x,求使F(X)=-1/2在[0,2010]上的所有X的个数.
已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=-f(x）,当0≤X≤1时,f(x)=1/2x,求使F(X)=-1/2在[0,2010]上的所有X的个数.
由已知有 f(x+2)=-f(x） 推出 f(x+4)=-f(x+2)=f(x)
即f(x)是以4为周期的周期函数,因此只需求出在[0,4]上有多少个x使得f(x)
等于-1/2即可.
[0,1]上,f(x)=1/2x;
[1,2]上,f(x)=-f(x-2),注意 x-2 ∈[-1,0],而f(x)是奇函数,在[-1,0]上的
f(x)=-f(-x)=-1/2(-x)=1/2x (∵-x∈[0,1]) 故而
f(x)=-f(x-2)=-1/2(x-2)=-1/2x+1;
[2,3]上,f(x)=-f(x-2)=-1/2(x-2)(同样∵x-2∈[0,1])
[3,4]上,f(x)=-f(x-2)=1/2(x-2-2)=1/2x-2(理由同上)
画出图形易知[0,4]上f(x)=-1/2 的只有x=3这一个,
2010÷4=502……2 ,剩下的[2008,2010]中没有,所以共有502个.
1005个
f(x+4)=-f(x+2)=f(x)
T=4 只需求一个周期解得个数
（-1,0）图像根据奇函数画出来
f(x+2)=-f(x)=f(-x),f(x)关于x=1对称
画出[1,3]图像
可知一个周期只有一解
[0,2010]是502.5个周期，可知503个解
1004个