在公式(a+1)的平方=a的平方+2a+1中,当a分别取正整数1,2,3…n时,可以得到n个等式:(1+1)的平方=1的平方+2×1+1(2+1)的平方=2的平方+2×2+1(3+1)的平方=3的平方+2×3+1…(后面就是4的了)(n+1)
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/08/05 12:29:12
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在公式(a+1)的平方=a的平方+2a+1中,当a分别取正整数1,2,3…n时,可以得到n个等式:(1+1)的平方=1的平方+2×1+1(2+1)的平方=2的平方+2×2+1(3+1)的平方=3的平方+2×3+1…(后面就是4的了)(n+1)
在公式(a+1)的平方=a的平方+2a+1中,当a分别取正整数1,2,3…n时,可以得到n个等式:
(1+1)的平方=1的平方+2×1+1
(2+1)的平方=2的平方+2×2+1
(3+1)的平方=3的平方+2×3+1
…(后面就是4的了)
(n+1)的平方=n的平方+2n+1
将这n个等式左、右两边分别相加,可推导出前n个正整数的和得公式,即1+2+3+…+n可以用含n的代数式表示,请你推导出此公式来,并利用它计算:
①15+16+17+18+…+67
②1+2+3+4+…+2009
在公式(a+1)的平方=a的平方+2a+1中,当a分别取正整数1,2,3…n时,可以得到n个等式:(1+1)的平方=1的平方+2×1+1(2+1)的平方=2的平方+2×2+1(3+1)的平方=3的平方+2×3+1…(后面就是4的了)(n+1)
我们假设2²+3²+……(n+1)²=A
1²+2²+……n²=B
那么,明显的A+1-(n+1)²=B 对吧?
然后,按照题目给的那种方法求和,
左边=A
右边=B+2*(1+2+3+4+……+n)+n
把两个关于A和B的关系式代入,把A、B消掉,得到
2*(1+2+3+4+……+n)+n+1-(n+1)²=0
即1+2+3+4+……+n=[(n+1)²-n-1]/2=n(n+1)/2
则1+2+3……14= 14*15/2=105
1+2+3+……67= 67*68/2=2278
则 15+16+17……+67=2278-105=2173
1+2+3……+2009=2009*2010/2=2019045