在三角形ABC中,∠BAC=90°,AB=AC.M,N是BC上任意两点,且∠MAN=45°,证明MN²=BM²+NC²
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/08/31 23:21:36
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在三角形ABC中,∠BAC=90°,AB=AC.M,N是BC上任意两点,且∠MAN=45°,证明MN²=BM²+NC²
在三角形ABC中,∠BAC=90°,AB=AC.M,N是BC上任意两点,且∠MAN=45°,证明MN²=BM²+NC²
在三角形ABC中,∠BAC=90°,AB=AC.M,N是BC上任意两点,且∠MAN=45°,证明MN²=BM²+NC²
【思路:把BM,MN,CN通过添加辅助线,使三条线段转移到同一个三角形中去.】
证明:作∠MAP=90°,使AP=AM(点P与M在AN两侧).连接PN,PC.
∵∠MAN=45°.
∴∠MAN=∠PAN;又AP=AM,AN=AN.则:⊿PAN≌⊿MAN(SAS),PN=MN.
∵∠MAP=∠BAC=90°.
∴∠PAC=∠BAM;又AP=AM,AC=AB.则⊿PAC≌⊿MAB(SAS),CP=BM;∠ACP=∠B=45°.
则:∠ACB+∠ACP=90°,PN²=CP²+NC².
所以,BM²=BM²+NC².(等量代换)
这题当初我班只有几个人做出来
M 应在 B 附近,点 N 应在 C 附近,BM^2 + CN^2 = MN^2 才可能成立。
证明:用“翻折法”。
沿着 AM 将 △ABM 翻折,AB 的位置变为 AE, B 的位置变为 E,则
△ABM≌△AEM;∠BAM =∠EAM ,∠MEA = 45度, EM = BM;--------------(1)
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这题当初我班只有几个人做出来
M 应在 B 附近,点 N 应在 C 附近,BM^2 + CN^2 = MN^2 才可能成立。
证明:用“翻折法”。
沿着 AM 将 △ABM 翻折,AB 的位置变为 AE, B 的位置变为 E,则
△ABM≌△AEM;∠BAM =∠EAM ,∠MEA = 45度, EM = BM;--------------(1)
再沿着 AN 将 △ACN 翻折, AC 的位置变为 AF, C 的位置变为 E',则
△ACN≌△AE'N;∠CAN =∠E'AN ,∠NE'A = 45度, E'N = CN;----------(2)
因为∠MAN = 45度,故 ∠BAM + ∠CAN = 45度, 即有∠EAM + ∠E'AN = 45度,所以 E、E' 重合(于 E 点)!于是∠MEN = ∠MEA +∠NEA = 90度,再由勾股定理及(1)(2)的结论得EM^2 + EN^2 = MN^2,即有 BM^2 + CN^2 = MN^2。
注:用到(2)的结论时, E' 换成 E。
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