作业帮已知n,k均大于1 的整数,求证：1+2（-k）次方+3（-k）次方+…..+n（-k）次方 ﹤2
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/28 01:13:10
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已知n,k均大于1 的整数,求证：1+2（-k）次方+3（-k）次方+…..+n（-k）次方 ﹤2
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证明：因为k≥2,所以1+2(-k)次方+3(-k)次方+…+n(-k)次方小于或等于1+1/2²+1/3²+…+1/n²
只需证明：1+1/2²+1/3²+…+1/n²＜2(n≥2)
接下来加强不等式：1+1/2²+1/3²+…+1/n²≤2-1/n
下面用归纳法证明：
(1)当n=2时,左=1.25≤1.5=右,不等式成立.
(2)假设当n=m(m≥2)时,不等式成立,即
1+1/2²+…+1/m²≤2-1/m.
则当n=m+1时,
1+1/2²+…+1/m²+ [1/(m+1)²]≤2-1/m+ [1/(m+1)²]≤2-1/m+1/[(m+1)m]=2-1/(m+1),
即当n=m+1时,命题成立.
所以对n≥2的任意整数,1+1/2²+…+1/n²≤2-1/n,
从而1+1/2²+…+1/n²＜2.
即1+2(k)次方+3(-k)次方+…+n(-k)次方≤1+1/2²+1/3²+…+1/n²
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