A为复矩阵,A的特征多项式无重根,则存在列向量a,使得a,Aa,...A^n-1a线性无关A为n阶复矩阵,A的特征多项式无重根,则存在列向量a,使得a,Aa,...A^n-1a线性无关

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/28 18:43:47
A为复矩阵,A的特征多项式无重根,则存在列向量a,使得a,Aa,...A^n-1a线性无关A为n阶复矩阵,A的特征多项式无重根,则存在列向量a,使得a,Aa,...A^n-1a线性无关
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A为复矩阵,A的特征多项式无重根,则存在列向量a,使得a,Aa,...A^n-1a线性无关A为n阶复矩阵,A的特征多项式无重根,则存在列向量a,使得a,Aa,...A^n-1a线性无关
A为复矩阵,A的特征多项式无重根,则存在列向量a,使得a,Aa,...A^n-1a线性无关
A为n阶复矩阵,A的特征多项式无重根,则存在列向量a,使得a,Aa,...A^n-1a线性无关

A为复矩阵,A的特征多项式无重根,则存在列向量a,使得a,Aa,...A^n-1a线性无关A为n阶复矩阵,A的特征多项式无重根,则存在列向量a,使得a,Aa,...A^n-1a线性无关
设A的n个特征值为λ[1],λ[2],...,λ[n].
v[1],v[2],...,v[n]为相应的特征向量,即有Av[i] = λ[i]v[i].
取a = v[1]+v[2]+...+v[n],以下证明a,Aa,...A^(n-1)a线性无关.
由v[1],v[2],...,v[n]是属于不同特征值的特征向量,它们线性无关.
于是对依次以v[1],v[2],...,v[n]为列向量的矩阵B,有B可逆.
注意到A^k·a = λ[1]^k·v[1]+λ[2]^k·v[2]+...+λ[n]^k·v[n].
设n阶矩阵C = (λ[i]^j),则矩阵BC的列向量依次为a,Aa,...,A^(n-1)a.
要证明a,Aa,...A^(n-1)a线性无关,只需证明BC可逆.
已证B可逆,又C的行列式为Vandermonde行列式,由λ[i]两两不等知|C| ≠ 0,C可逆.
因此BC可逆,a,Aa,...A^(n-1)a线性无关.

该题有点意思，看到没人做，试做了一些，看可否。

再给你个快捷一点的证法：A相似于其特征多项式的友阵(Frobenius阵)

A为复矩阵,A的特征多项式无重根,则存在列向量a,使得a,Aa,...A^n-1a线性无关A为n阶复矩阵,A的特征多项式无重根,则存在列向量a,使得a,Aa,...A^n-1a线性无关 实矩阵A的特征多项式的根全为实的如何证明存在正交矩阵T使T'AT成三角矩阵 已知复矩阵A的特征多项式为(λ-2)^3(λ-3)^2(λ+1),且A在复数域上可对角化,A的极小多项式为() 设矩阵A 的特征多项式为I&E-AI=(&+1)(&+4)^2 ,则 IAI= 已知二阶矩阵A有两个特征值1,2,求矩阵A的特征多项式. a,b均为n阶方阵,b为幂零矩阵a可逆矩阵,且ab可交换,证明a与a+b有相同的特征多项式 已知n阶矩阵A的特征值为λ1,λ2,……,λn,p(x)为x的多项式,求 p(A)的特征多项式 设矩阵A的特征多项式为f(λ）,则f(A)=0怎么证明?这定理叫什么名字 线性代数 特征多项式的化简问题请帮化简一下下面矩阵A的特征多项式 解出特征向量 顺便问一下,一般化简特征多项式都有哪几种方法? 高等代数若矩阵A的最小多项式为x(x-1)的因式,为什么他的特征多项式为x∧r(x-1)∧n-r 给了矩阵A的特征多项式,怎么求det(2A)? f(x)是矩阵A的特征多项式,证明f(A)=O? 矩阵的特征多项式是什么 对于n阶复矩阵B,若B最小多项式和特征多项式相等,证明：存在向量a,使得a,Ba,……B^(n-1)a线性无关,呵呵 如果矩阵A的特征多项式与最小多项式相同,A的Jordan标准形有何特点? 证明：若n级实矩阵A的特征多项式在复数域中的根都是实数,则A一定正交相似于上三角矩阵. 线性代数的问题,设矩阵A的特征多项式为f(λ）,则f(A)=0这个定理这么证明为什么不对?f(λ）=|A-λE|所以f(A)=|A-AE|=0 设A,B均为n阶实对称矩阵,证明：A与B相似 A,B有相同的特征多项式