已知函数f(x)=(x-1)/ax-1(x∈R,x≠1/a),求证y=f(x)的图像关于直线y=x对称

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/10/04 00:50:55
已知函数f(x)=(x-1)/ax-1(x∈R,x≠1/a),求证y=f(x)的图像关于直线y=x对称
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已知函数f(x)=(x-1)/ax-1(x∈R,x≠1/a),求证y=f(x)的图像关于直线y=x对称
已知函数f(x)=(x-1)/ax-1(x∈R,x≠1/a),求证y=f(x)的图像关于直线y=x对称

已知函数f(x)=(x-1)/ax-1(x∈R,x≠1/a),求证y=f(x)的图像关于直线y=x对称
任取P（x,y)在f(x)上,则P（x,y)关于y=x对称点P`(x`,y`)
x`=y,y`=x
P`(y,x)
y=(x-1)/(ax-1)
把P点 的横坐标代与f(x)
f((x-1)/(ax-1))=x
等于P点的纵坐标
所以P`点也在函数图像上
所以f(x)关于y=x对称

大略，

要证明 y=f(x)的图像关于直线 y=x 对称 ，只要证明任意一条垂直于直线 y=x 的直线，被 y=f(x)所截得的线段，被 直线 y=x 平分即可
直线 y=-x+b 是垂直于直线 y=x 的一条动直线，它与 y=f(x) 的图像交于点A,B
把 y=-x+b 代入 y=f(x) 得
-x+b=（x-1)/(ax-1)
-ax²+abx +x-...

全部展开

要证明 y=f(x)的图像关于直线 y=x 对称 ，只要证明任意一条垂直于直线 y=x 的直线，被 y=f(x)所截得的线段，被 直线 y=x 平分即可
直线 y=-x+b 是垂直于直线 y=x 的一条动直线，它与 y=f(x) 的图像交于点A,B
把 y=-x+b 代入 y=f(x) 得
-x+b=（x-1)/(ax-1)
-ax²+abx +x-b=x-1
ax²-abx+1-b=0
这个方程的两个根x1,x2分别是A,B两点的横坐标
x1+x2=b
于是 y1+y2=-x1+b-x2+b=-(x1+x2)+2b=-b+2b=b
所以，A,B两点的中点的横坐标是（x1+x2)/2=b/2 纵坐标 （y1+y2)/2=b/2
因此AB的中点的横坐标等于纵坐标，这个中点一定在直线 y=x 上
那么 AB被直线 y=x 平分，
由此可知，函数 y=f(x)的图像关于直线 y=x 对称

收起

已知x∈R+ ,函数 f(x)=ax^2+2ax+1,若f(m) 已知函数f(x)=x^2-ax+4,x∈[-3,-1],若f(x) 已知函数f(x)=ax(x 已知函数f(x)=ax²+bx,若-1 已知函数f(x)=ax^3-cx,-1 已知函数f(x)=ln(ax+1)+x²-ax,a>0讨论函数f(x)的单调区间 已知函数f(x)=根号下1-ax,求函数f(x)的定义域 高中数学已知函数f(x)=ax^2+x--a.解不等式f（x)>1 已知函数f(x)=(ax²+1)/x,求f(x)的单调区间 已知函数f(x)=ax/(x^2+1)+a,求f(x)的单调区间 已知函数f(x)=ln(1+x^2)+ax,讨论f(x)的单调性 已知函数f(x)=x^+ax,g(x)=2^x-a,且1/2 已知函数f(x)={x^2+ax+1,x≧1.ax^2+x+1,x 已知函数f(x)=x^3+ax^2+x+1,讨论函数f(x)的单调区间 已知函数f(x)=e^x(x^2+ax+1).求函数f(x)的极值 已知函数f（x）=ax^2+4ax-4,若对于x∈【-3,-1】,f（x） 已知函数f(x)=ax/2x-1满足f[f(x)]=x,求实数a的值 函数题解已知函数f(x)=ax^2+bx+1(ab为实数),设F(x)={f(x),(x>0)},{-f(x),(x