已知AB=AD,AC=AE,角BAD=角CAE=90度,AH垂直BC于H,HA的延长线交DE于G.求证：GD=GE.用两种方法解

已知AB=AD,AC=AE,角BAD=角CAE=90度,AH垂直BC于H,HA的延长线交DE于G.求证：GD=GE.用两种方法解
已知AB=AD,AC=AE,角BAD=角CAE=90度,AH垂直BC于H,HA的延长线交DE于G.求证：GD=GE.用两种方法解

已知AB=AD,AC=AE,角BAD=角CAE=90度,AH垂直BC于H,HA的延长线交DE于G.求证：GD=GE.用两种方法解

在BC上截取BG'=AG
∵∠BAD=∠CAE=∠AHB=∠AHC=90°
∴∠BAH+∠ABC=∠BAH+∠DAG=∠CAH+∠BCA=∠CAH+∠EAG=90°
∴∠CBA=∠DAG,∠BCA=∠EAG
又∵AB=AD,AG=BG'
∴△ABG'≌△ADG(SAS)
∴DG=AG',∠DGA=∠BG'A
∴∠EGA=∠CG'A
又∵∠BCA=∠EAG,AC=AE
∴△ACG'≌△AEG(AAS)
∴GE=AG'=GD
 
②
证明：过D、E作DN⊥AH,EM⊥AH,交HA延长线于N、M
∵∠BAD=90°,∴∠DAN+∠BAH=90°又AH⊥BC∴∠ABH+∠BAH=90°
∴∠DAN=∠ABH(等角的余角相等）
DN⊥AH,AH⊥BC,∴∠DNA=∠AHB=90°
AB=AD
∴△ABH≌△DAN
∴DN=AH
同理可证
△AHC≌△EMA
∴EM=AH
∴DN=EM
在△DNG和△EMG中
DN=EM
∠DNG=∠EMG=90°
∠DGN=∠EGM
∴△DNG≌△EMG
∴DG=GE