已知A(4,0) B（5.0）是椭圆25X^2+16Y^2=400的两个顶点,C是椭圆在第一象限内部分上的点求三角形的最大面积

已知A(4,0) B（5.0）是椭圆25X^2+16Y^2=400的两个顶点,C是椭圆在第一象限内部分上的点求三角形的最大面积
已知A(4,0) B（5.0）是椭圆25X^2+16Y^2=400的两个顶点,C是椭圆在第一象限内部分上的点求三角形的最大面积

已知A(4,0) B（5.0）是椭圆25X^2+16Y^2=400的两个顶点,C是椭圆在第一象限内部分上的点求三角形的最大面积
如果,X=4x,Y=5y,代入椭圆方程会得到x^2+y^2=1,这是一个圆的方程,可以用到三角函数将2个变量转化成一个关于α角的正余弦函数,解起来会大有不同,会收到意想不到的效果.本题就是一个明显的例子.
令X=4cosα,Y=5sinα是椭圆上的点,椭圆方程将变为cos^2α+sin^2α=1
因为过AB两点的直线方程恰好是5X+4Y-20=0,根据题意要求,求的就是C点到这个直线的最大距离h.
C到AB直线的距离最大,则三角形面积就最大.
AB=√(25+41)=√41
h=|20cosα+20sinα-20|/√（25+16）
=20√2(√2/2cosα+√2/2sinα-√2/2)=20√2[sin(α+45°)-√2/2]/√41
据题意,C在第一象限,则α为锐角
所以α=45°时,sin(45°+α)=1,这时高有最大值：20(√2-1)/√41
所以面积的最大值为：|AB|*h/2=10(√2-1)

A(4,0) B（0,5）
设C(4cosa,5sina),
AB=(4^2+5^2)^0.5==41^0.5, AB:y=-5/4*x+5,即5x+4y-20=0
点到直线的距离=abs(Ax0+By0+C)/sqrt(A^2+B^2)
abs(5*4cosa+4*5sina-20)/41^0.5 当a=pi/4时有最大值20*(2^0.5-1)/41^0.5
三角形的最大面积0.5*41^0.5*20*(2^0.5-1)/41^0.5=10*(2^0.5-1)=4.14213562