若a>0,b>0,2/a+3/b=4,求a+2b的最小值
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/11/16 09:19:03
若a>0,b>0,2/a+3/b=4,求a+2b的最小值
若a>0,b>0,2/a+3/b=4,求a+2b的最小值
若a>0,b>0,2/a+3/b=4,求a+2b的最小值
a+2b=1/4*(a+2b)*(2/a+3/b) 因为2/a+3/b=4
=1/4*(2+3a/b+4b/a+6)
a>0,b>0
由均值不等式
3a/b+4b/a>=2√(3a/b*4b/a)=4√3
当3a/b=4b/a取等号
b^2=3a^2/4
b=(√3/2)a,代入2/a+3/b=4
显然有正解
所以等号能取到
所以a+2b=1/4*(2+3a/b+4b/a+6)>=1/4(8+4√3)=2+√3
所以最小值=2+√3
首先因为4=2/a+3/b>2/a,a>1/2,同理b>3/4
设S=a+2b,则S>1/2+2*3/4=2
2/a+3/b=4
3a+2b=4ab
2a+(a+2b)=4a(S-a)/2
2a+S=2aS-4a^2
4a^2-2aS+2a+S=0
4a^2-2(S-1)a+S=0
a为大于0的实数,所以S>0,且判别式=4(S-1)...
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首先因为4=2/a+3/b>2/a,a>1/2,同理b>3/4
设S=a+2b,则S>1/2+2*3/4=2
2/a+3/b=4
3a+2b=4ab
2a+(a+2b)=4a(S-a)/2
2a+S=2aS-4a^2
4a^2-2aS+2a+S=0
4a^2-2(S-1)a+S=0
a为大于0的实数,所以S>0,且判别式=4(S-1)^2-16S>=0
S^2-2S+1-4S>=0
S^2-6S+1>=0
S>=3+2根号2,或S<=3-2根号2(因为小于2不合题意,舍去)
所以a+2b的最小值为3+2根号2
收起
当2b=a时a+2b=3最小,此时b=1,a=2,
由2/a+3/b=4,得 :a=2/(4-3/b)=2b/(4b-3) (1)
设a+2b=k (2)
(1)代入(2)得:
k=2b/(4b-3)+2b 整理得:
(4b-3)k=2b+2b(4b-3)
化简得:
8b^2-(4+4k)b+3k=0 ...
全部展开
由2/a+3/b=4,得 :a=2/(4-3/b)=2b/(4b-3) (1)
设a+2b=k (2)
(1)代入(2)得:
k=2b/(4b-3)+2b 整理得:
(4b-3)k=2b+2b(4b-3)
化简得:
8b^2-(4+4k)b+3k=0 (3)
(3)是关于的一元二次方程
判别式=(4+4k)^2-4*8*3k=16+32k+16k^2-96k=16k^2-64k+16
收起