若关于x的一元二次方程a(1-x)²+c(1+x²)=2bx有两个相等的实数根,试判别以a、b、c为边的三角形形状?

若关于x的一元二次方程a(1-x)²+c(1+x²)=2bx有两个相等的实数根,试判别以a、b、c为边的三角形形状?
若关于x的一元二次方程a(1-x)²+c(1+x²)=2bx有两个相等的实数根,试判别以a、b、c为边的三角形形状?

若关于x的一元二次方程a(1-x)²+c(1+x²)=2bx有两个相等的实数根,试判别以a、b、c为边的三角形形状?
方程a(1-x)^2+c(1+x^2)=2bx
整理：a(x^2-2x+1)+c(x^2+1)-2bx=0,
ax^2-2ax+a+cx^2+c-2bx=0,
(a+c)x^2-(2a+2b)x+(a+c)=0,
方程有两个相等的实数根
所以△=4(a+b)^2-4(a+c)^2=0
(a+b)^2=(a+c)^2,
a+b=a+c,
所以b=c
所以三角形是等腰三角形

原方程变型为（a+c)x^2-2(a+b)x+(a+c)=0
因为有两个相等的实数根
所以△=4(a+b)^2-4(a+c)^2=0
(2a+b+c)(b-c)=0
因此b=c或b+c=-2a(不合题意，舍...

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原方程变型为（a+c)x^2-2(a+b)x+(a+c)=0
因为有两个相等的实数根
所以△=4(a+b)^2-4(a+c)^2=0
(2a+b+c)(b-c)=0
因此b=c或b+c=-2a(不合题意，舍去）
是等腰三角形

收起

a(1-x)²+c(1+x²)=2bx
a-ax²+c+cx²-2bx=0
(c-a)x²-2bx+a+c=0
△=(-2b)²-4(c-a)(a+c)＞0
4b²+4a²-4c²＞0
b²+a²＞c²
∴以a、b、c为边的三角形是不等边的锐角三角形

方程整理得：(a+c)x²+(-2a-2b+2c)x+(a+c)=0
因为有两个相等实根，所以，(-2a-2b+2c)²-4(a+c)(a+c)=0
进一步化简得：(b-2a)(b-2c)=0
这样，三角形一条片长度是另一条的2倍，这意味着，一个角必然小于30度。