已知函数f(x)=2acosx的平方+bsinxcosx,且f(0)=2,f(pai/3)=1/2+根号3/2.(2)若a-b不等于kpai,k属于Z且a.b是方程f(x)=0的两个根,求证：sin(a+b)=cos(a+b)

已知函数f(x)=2acosx的平方+bsinxcosx,且f(0)=2,f(pai/3)=1/2+根号3/2.(2)若a-b不等于kpai,k属于Z且a.b是方程f(x)=0的两个根,求证：sin(a+b)=cos(a+b)
已知函数f(x)=2acosx的平方+bsinxcosx,且f(0)=2,f(pai/3)=1/2+根号3/2.(2)若a-b不等于kpai,k属于Z
且a.b是方程f(x)=0的两个根,求证：sin(a+b)=cos(a+b)

已知函数f(x)=2acosx的平方+bsinxcosx,且f(0)=2,f(pai/3)=1/2+根号3/2.(2)若a-b不等于kpai,k属于Z且a.b是方程f(x)=0的两个根,求证：sin(a+b)=cos(a+b)
f(x)=2acos²x+bsinxcosx
f(0)=2a=2,a=1
f(π/3)=2cos²π/3+bsinπ/3cosπ/3=1/2+√3/2
∴ 1/2+b*√3/2*1/2=1/2+√3/2
∴ b=2
∴f(x)=2cos²x+2sinxcosx
=1+cos2x+sin2x
=√2(√2/2sin2x+√2/2cos2x)+1
=√2sin(2x+π/4)+1

令f(x)=0,即√2sin(2x+π/4)+1=0
得sin(2x+π/4)=-√2/2
∴2x+π/4=2kπ+π+π/4,k∈Z
或2x+π/4=2kπ-π/4,k∈Z
∴x=kπ+π/2,或,x=kπ-π/4,k∈Z

∵α,β是方程f(x)=0的两个根
又α-β≠kπ,
∴ α=k1π+π/2 , β=k2π-π/4,k1,k2∈Z
或 α=k1π-π/4 , β=k2π+π/2,k1,k2∈Z
总有α+β=(k1+k2)π+π/4
∴tan(α+β)=tan[(k1+k2)π+π/4]=1
∴sin(α+β)=cos(α+β)