设α1,α2,α3,均为三维列向量,α2,α3线性无关α1=2α2-α3.A=（α1,α2,α3）,b=α1+2α2+5α3,则 A X=b的通解怎么算

设α1,α2,α3,均为三维列向量,α2,α3线性无关α1=2α2-α3.A=（α1,α2,α3）,b=α1+2α2+5α3,则 A X=b的通解怎么算
设α1,α2,α3,均为三维列向量,α2,α3线性无关
α1=2α2-α3.A=（α1,α2,α3）,b=α1+2α2+5α3,则 A X=b的通解怎么算

设α1,α2,α3,均为三维列向量,α2,α3线性无关α1=2α2-α3.A=（α1,α2,α3）,b=α1+2α2+5α3,则 A X=b的通解怎么算
由已知 R(A)=2
所以 AX=0 的基础解系含 3-2=1 个向量
因为 α1=2α2-α3 所以 (1,-2,1)^T 是 AX=0 的解,故是基础解系
因为 b=α1+2α2+5α3,所以 (1,2,5)^T 是 AX=b 的解
所以 AX=b 的通解为 (1,2,5)^T +c(1,-2,1)^T

根据假设b=α1+2α2+5α3可知X*=(1,2,5)^T为AX=b的一个特解。因此，我们只需要知道AX=0的通解就可以了。
而α1=2α2-α3告诉我们-α1+2α2-α3=0，即(-1,2,-1)^T为AX=0的一个特解。又根据α2,α3线性无关可知AX=0的解构成一维向量空间。因此，AX=0的通解为: t(-1,2,-1)^T, 。
从而AX=b的通解为 X= (1,2,5...

全部展开

根据假设b=α1+2α2+5α3可知X*=(1,2,5)^T为AX=b的一个特解。因此，我们只需要知道AX=0的通解就可以了。
而α1=2α2-α3告诉我们-α1+2α2-α3=0，即(-1,2,-1)^T为AX=0的一个特解。又根据α2,α3线性无关可知AX=0的解构成一维向量空间。因此，AX=0的通解为: t(-1,2,-1)^T, 。
从而AX=b的通解为 X= (1,2,5)^T+t(-1,2,-1)^T, t为任意实数.

收起