在数列{an}中,a1=1/3,a2=5/18,且数列{log2(3an+1-an)}是公差为-1的等差数列,又数列{2an+1-an)}是公比为1/3的等比数列,求数列{an}的通式 .
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/21 00:21:23
![在数列{an}中,a1=1/3,a2=5/18,且数列{log2(3an+1-an)}是公差为-1的等差数列,又数列{2an+1-an)}是公比为1/3的等比数列,求数列{an}的通式 .](/uploads/image/z/12643991-71-1.jpg?t=%E5%9C%A8%E6%95%B0%E5%88%97%7Ban%7D%E4%B8%AD%2Ca1%3D1%2F3%2Ca2%3D5%2F18%2C%E4%B8%94%E6%95%B0%E5%88%97%7Blog2%EF%BC%883an%2B1%EF%BC%8Dan%EF%BC%89%7D%E6%98%AF%E5%85%AC%E5%B7%AE%E4%B8%BA-1%E7%9A%84%E7%AD%89%E5%B7%AE%E6%95%B0%E5%88%97%2C%E5%8F%88%E6%95%B0%E5%88%97%7B2an%2B1%EF%BC%8Dan%29%7D%E6%98%AF%E5%85%AC%E6%AF%94%E4%B8%BA1%2F3%E7%9A%84%E7%AD%89%E6%AF%94%E6%95%B0%E5%88%97%2C%E6%B1%82%E6%95%B0%E5%88%97%7Ban%7D%E7%9A%84%E9%80%9A%E5%BC%8F+.)
在数列{an}中,a1=1/3,a2=5/18,且数列{log2(3an+1-an)}是公差为-1的等差数列,又数列{2an+1-an)}是公比为1/3的等比数列,求数列{an}的通式 .
在数列{an}中,a1=1/3,a2=5/18,且数列{log2(3an+1-an)}是公差为-1的等差数列,
又数列{2an+1-an)}是公比为1/3的等比数列,求数列{an}的通式 .
在数列{an}中,a1=1/3,a2=5/18,且数列{log2(3an+1-an)}是公差为-1的等差数列,又数列{2an+1-an)}是公比为1/3的等比数列,求数列{an}的通式 .
数列{log2(3an+1-an)}是公差为-1的等差数列
∴n≥2时,
log₂[3a(n+1)-an]-log₂[3an-a(n-1)]=-1
∴log₂[3a(n+1)-an]+1=log₂[3an-a(n-1)]
∴2[3a(n+1)-an]=3an-a(n-1)
∴[3a(n+1)-an]/[3an-a(n-1)]=1/2
∴{3a(n+1)-an}为等比数列,公比为1/2
∵a1=1/3,a2=5/18
∴3a(n+1)-an=(3a2-a1)*(1/2)^n =1/2ⁿ
∴a(n+1)=1/3*(an+ 1/2ⁿ)
∴a(n+1)-1/2^n=1/3*[an-1/2^(n-1)]
∴[a(n+1)-1/2^n]/[an-1/2^(n-1)]=1/3
∴{an-1/2^(n-1)}为等比数列,公比为1/3
∴an-1/2^(n-1)=(a1-1)*1/3^(n-1)=-2/3*1/3^(n-1)=-2/3ⁿ
∴an=1/2^(n-1)-2/3^n
由a1=1/3,a2=5/18,数列{log2(3an+1-an)}是公差为-1的等差数列,得
首项为 log2(3a2-a1)=-1 通项公式log2(3an+1-an)=-n
则 3an+1-an=2^(-n) ...
全部展开
由a1=1/3,a2=5/18,数列{log2(3an+1-an)}是公差为-1的等差数列,得
首项为 log2(3a2-a1)=-1 通项公式log2(3an+1-an)=-n
则 3an+1-an=2^(-n) ①
数列{2an+1-an}是公比为1/3的等比数列,得 首项为2a2-a1=2/9
通项公式 2an+1-an=2*(1/3)^(n+1) ②
由①②,得 an=[2^(-n)+3^(-n)*2/3]/5
收起