作业帮Find the minimum value of the function f(x,y)=8x^2+6y^2+20xy+4x+5y+4 受限于 2x^2+5xy=1 求最小值_________.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/29 13:46:14
Find the minimum value of the function f(x,y)=8x^2+6y^2+20xy+4x+5y+4 受限于 2x^2+5xy=1 求最小值_________.
Find the minimum value of the function f(x,y)=8x^2+6y^2+20xy+4x+5y+4 受限于 2x^2+5xy=1 求最小值_________.
Find the minimum value of the function f(x,y)=8x^2+6y^2+20xy+4x+5y+4 受限于 2x^2+5xy=1 求最小值_________.
和刚才方法相同,受限函数为:2x^2+5xy=1
设函数F(x,y)=8x^2+6y^2+20xy+4x+5y+4 +λ(2x^2+5xy-1)
∂F/∂x=16x+20y+4+4λx+5λy=0,
λ=-(16x+20y+4)/(4x+5y),(1)
∂F/∂y=12y+20x+5+5λx=0,
λ=-(20x+12y+5)/(5x),(2)
联立(1)和(2)式,
85y^2+48xy=0,
y=0,
2x^2+0=1,
y=0,x=±√2/2,
y=-48x/85,
x^2=-17/14,无实数解,
∴x=±√2/2,y=0,选x=-√2/2有最小值,
∴f(x,y)(min)=8*(-√2/2)^2+6*0+20*0+4*(-√2/2)+5*0+4
=8-2√2.
不知道，求这部分内容的数学公式。
0.0
现将2x^2+5xy=1，扩大4倍得8x^2+20xy=4，由 2x^2+5xy=1得2x+5y=1\x,带入得f(x,y)=6y^2+5y+8+2x+1\x,再将关于y的函数配方得6（y+5\12）^2+7+1\24,对于2x+1\x>=2根号2.所以f(x,y)最小值为7+1\24+2根号2
4
本题是典型的拉格朗日乘数法题
令L(x,y,λ)=8x^2+6y^2+20xy+4x+5y+4+λ(2x^2+5xy-1)，其中λ是拉格朗日乘数，则：
对L(x,y,λ)就关于x的偏导：
Lx=16x+20y+4+λ(4x+5y)........................(1)
对L(x,y,λ)就关于y的偏导：
Ly=12y+20x+5+5...
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本题是典型的拉格朗日乘数法题
令L(x,y,λ)=8x^2+6y^2+20xy+4x+5y+4+λ(2x^2+5xy-1)，其中λ是拉格朗日乘数，则：
对L(x,y,λ)就关于x的偏导：
Lx=16x+20y+4+λ(4x+5y)........................(1)
对L(x,y,λ)就关于y的偏导：
Ly=12y+20x+5+5λx................................(2)
又因为：
2x^2+5xy=1.............................................(3)
(1)×5-(2)×4得：
y(52+25λ)=0，则：
λ=-52/25或者y=0
验证当λ=-52/25时，（1）和（2）是同族线性方程，该方程组(1)、(2)、(3)无解，
验证当y=0时，x=±√2/2，因f(x,y)有最小值，所以x=√2舍去
则：x=-√2/2,y=0,带入f(x,y),的最小值为：
8-2√2
另：如果没有学拉格朗日乘数法，只能用代入法，这个计算量是巨大的，而且不好验证
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