偶函数fx满足f(1-x)=f(1+x),且在定义域[0,1] 时fx=根号（2x-x平方）.若直线kx-y+k=0（k大于0）与fx的图像有且仅有三个交点,则k的取值范围

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/12/01 12:45:24
偶函数fx满足f(1-x)=f(1+x),且在定义域[0,1] 时fx=根号（2x-x平方）.若直线kx-y+k=0（k大于0）与fx的图像有且仅有三个交点,则k的取值范围
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偶函数fx满足f(1-x)=f(1+x),且在定义域[0,1] 时fx=根号（2x-x平方）.若直线kx-y+k=0（k大于0）与fx的图像有且仅有三个交点,则k的取值范围
偶函数fx满足f(1-x)=f(1+x),且在定义域[0,1] 时fx=根号（2x-x平方）.
若直线kx-y+k=0（k大于0）与fx的图像有且仅有三个交点,则k的取值范围

偶函数fx满足f(1-x)=f(1+x),且在定义域[0,1] 时fx=根号（2x-x平方）.若直线kx-y+k=0（k大于0）与fx的图像有且仅有三个交点,则k的取值范围
本题采用数形结合方法较为简单,而关键在于确定f(x)图象
 
先观察一下[0,1]上f(x)的图象：
令y=f(x),显然y≥0
则有(x-1)^2+y^2=1（圆）
表明[0,1]上f(x)的图象是1/4圆
又f(1-x)=f(1+x)
即f(x)关于x=1对称
则[0,2]上f(x)的图象是1/2圆（半圆）
又f(x)是偶函数
即f(x)关于y轴对称
则[-2,0]上f(x)的图象也是一个半圆
由此可知,在定义域R上f(x)图象是无数半圆构成的波形（如图）
 
再分析一下直线的特征：
因y=k(x+1)
表明直线过定点(-1,0)
又k>0
表明直线为斜向上的直线
 
要使直线与f(x)图象有且仅有三个交点
则直线必与[0,1]上f(x)图象相交,且必与[1,2]上f(x)图象相离
即直线必与圆(x-1)^2+y^2=1相交,且必与圆(x-3)^2+y^2=1相离（平移）
 
联立直线与圆(x-1)^2+y^2=1有(k^2+1)x^2+2(k^2-1)x+k^2>0
则有⊿=4(k^2-1)^2-4(k^2+1)k1^2>0
解得0<k<√3/3（注意到k>0）


联立直线与圆(x-3)^2+y^2=1有(k^2+1)x^2+2(k^2-3)x+k^2+8<0
则有⊿=4(k^2-3)^2-4(k^2+1)(k1^2+8)<0
解得k>√15/15（注意到k>0）
 
综上所述,满足条件的k的取值范围为(√15/15,√3/3)

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