如图,在正方形ABCD中,O为对角线AC和BD的交点,E为CO上一点,连接BE,F为∠OBE角平分线上一点,连接OF、AF,G为BE上一点且BO=BG.（1）若FG⊥OF,OF=1,求线段OG的长度；（2）若∠AFB＝90°,求证：AF＝BF+OG

如图,在正方形ABCD中,O为对角线AC和BD的交点,E为CO上一点,连接BE,F为∠OBE角平分线上一点,连接OF、AF,G为BE上一点且BO=BG.（1）若FG⊥OF,OF=1,求线段OG的长度；（2）若∠AFB＝90°,求证：AF＝BF+OG
如图,在正方形ABCD中,O为对角线AC和BD的交点,E为CO上一点,连接BE,F为∠OBE角平分线上一点,连接OF、AF,G为BE上一点且BO=BG.（1）若FG⊥OF,OF=1,求线段OG的长度；（2）若∠AFB＝90°,求证：AF＝BF+OG

 

如图,在正方形ABCD中,O为对角线AC和BD的交点,E为CO上一点,连接BE,F为∠OBE角平分线上一点,连接OF、AF,G为BE上一点且BO=BG.（1）若FG⊥OF,OF=1,求线段OG的长度；（2）若∠AFB＝90°,求证：AF＝BF+OG
1、∵BF平分∠OBE
∴∠OBF=∠GBF
∵BO=BG,BF=BF
∴△OBF≌△GBF
∴OF=FG
∵FG⊥OF
∴△OFG是等腰直角三角形
∴OG=√(OF²+FG²)=√2
2、作OH垂直于OF交AF于H
∵ABCD是正方形,BD、AC是对角线
OA=OB,∠AOB=90°
∵∠HOF=90°(做的OH⊥OF)
∴∠AOH=∠BOF(同为∠HOB的余角）
∵∠AFB=∠AOB=90°
设AF与OB交于M,∠OMA=∠FMB(对顶角）
∴∠OAH(∠OAM)=∠OBF(∠MBF)
在△AHO和△BOF中
OA=OB,∠AOH=∠BOF,
∠OAH=∠OBF
∴△AHO≌△BOF
∴AH=BF,OH=OF
∵OF=FG(第一步已经证明）
∴OH=FG
∵∠OFG=∠HOF=90°(这一步有点问题,∠OFG在第一步是假设的,）
∴OG=FH
AF=AH+HF=BF+OG

(1)
因为BO=BG，BF平分角OBF，所以角OBF=角GBF
因为BF=BF，所以三角形OBF全等于三角形GBF(SAS)
所以OF=GF所以三角形OGF是等腰直角三角形，
由锐角三角函数得：OG=根号2

(2)
作OH垂直于OF
证三角形AHO全等于BFO
则OHFG是平行四边形
所以AF=AH+HF=BF...

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(1)
因为BO=BG，BF平分角OBF，所以角OBF=角GBF
因为BF=BF，所以三角形OBF全等于三角形GBF(SAS)
所以OF=GF所以三角形OGF是等腰直角三角形，
由锐角三角函数得：OG=根号2

(2)
作OH垂直于OF
证三角形AHO全等于BFO
则OHFG是平行四边形
所以AF=AH+HF=BF+OG

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