作业帮三棱锥的底面为等边三角形,侧面均为等腰直角三角形.问此三棱锥的体积
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/24 09:54:15
三棱锥的底面为等边三角形,侧面均为等腰直角三角形.问此三棱锥的体积
三棱锥的底面为等边三角形,侧面均为等腰直角三角形.问此三棱锥的体积
三棱锥的底面为等边三角形,侧面均为等腰直角三角形.问此三棱锥的体积
你的题目很好.在立体几何出现的很多.我的思路希望你牢记：
你看一看屋子的一个【墙角】.
在这个两两垂直的三条交线上截取相等的长度,就是你题目里的等腰直角三角形的三条直角边.所以,在这种情况下,我们三棱锥的底,换成了一个侧面当底.体积就十分好求了.
看图:
恰为正方体的一个角，为正方体体积的1/6.
法一：转化一下思维角度，将两两垂直的三个侧面之一作为底面，就是正方体的一角，计算得1/3*1/2a^2*a=1/6*a^3,设原来的侧棱为a
法二：.如果按原来的计算，得求高，则底边长为√2*a,底面中心到一顶点的距离为√6/3*a,勾股得高h=√3/3*a,得体积V=1/3*1/2*(√2a)^2*√3/2*√3/3*a=1/6*a^6....
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法一：转化一下思维角度，将两两垂直的三个侧面之一作为底面，就是正方体的一角，计算得1/3*1/2a^2*a=1/6*a^3,设原来的侧棱为a
法二：.如果按原来的计算，得求高，则底边长为√2*a,底面中心到一顶点的距离为√6/3*a,勾股得高h=√3/3*a,得体积V=1/3*1/2*(√2a)^2*√3/2*√3/3*a=1/6*a^6.
收起
方法1 如图所示等边△ABE是底面,设边长为a,垂心为D, 等腰直角三角形THF为侧面,FT等于边长a,它的高HC=a/2 解直角三角形DCA 得EC= √3a/2 DC=a/(2√3) 将FT与AB两边重合构成三棱锥: DCH构成直角三角形,HC是斜边,DC棱锥的高h是它的两条直角边 解此直角三角形可求三棱锥的高 h ²=HC ²-DC²=(a/2)² -(a/2√3)² =a² /6 h=a/√6 S底=AB*EC/2=a*(√3a/2)/2=a²√3/4 V=1/3*S底*h=1/3*a²√3/4*a/√6=a³√2/24 方法2 我们把这个三棱锥放倒:让它的一个侧面做底面,即让等腰直角三角形THF做底面, S底=FT*HC/2=a*a/2*1/2=a²/4 这时等腰直角三角形THF的直角边HT就是棱锥的高h=√2a/2 这样体积就更好求了: V=1/3*S底*h=1/3*a²/4*√2a/2=a³√2/24
三分之一底面积乘高