已知数列{An}的前n项和为Sn,且a1=1,a(n+1)=2Sn+1. 证明数列{An}是等比数列 求{An}的通项公式.
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/30 07:36:45
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已知数列{An}的前n项和为Sn,且a1=1,a(n+1)=2Sn+1. 证明数列{An}是等比数列 求{An}的通项公式.
已知数列{An}的前n项和为Sn,且a1=1,a(n+1)=2Sn+1. 证明数列{An}是等比数列 求{An}的通项公式.
已知数列{An}的前n项和为Sn,且a1=1,a(n+1)=2Sn+1. 证明数列{An}是等比数列 求{An}的通项公式.
证明:
因为:a(n+1)=2Sn+1 ①式, 且Sn-S(n-1)=an
所以:an=2S(n-1)+1 ②式,
①式减去②式得:
a(n+1)-an=2an,
即:
a(n+1)=3an,a(n+1)/an=3
故数列{An}是公比为3的等比数列得证.
所以{An}的通项公式an=a1×3^(n-1)=3^(n-1)为所求.
当n>=2时
a(n+1)=2Sn+1
a(n)=2S(n-1)+1
两式相减 a(n+1)-a(n)=2a(n)
a(n+1)=3a(n)
又因为a2=2S1+1=3,符合a2=3a1
所以数列{An}是等比数列 ,且q=3
则a(n)=a(1)* 3^(n-1)=3^(n-1)
(1) a(n+1)=2Sn+1 (2) an=a1·q^(n-1)
an=2S(n-1)+1 =1·3^(n-1)
a(n+1)-an=2[Sn-S(n-1)] ...
全部展开
(1) a(n+1)=2Sn+1 (2) an=a1·q^(n-1)
an=2S(n-1)+1 =1·3^(n-1)
a(n+1)-an=2[Sn-S(n-1)] =3^(n-1)
a(n+1)-an=2an
a(n+1)=3an
∴{an}是等比数列,公比为3
收起