f（x）定义在R上,满足：1.在x=0是连续的2.f(x+y)=f(x)+f(y) x,y∈ R ,prove f(x)=f(1)X,x∈R 求证明!

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/12/02 18:10:57
f（x）定义在R上,满足：1.在x=0是连续的2.f(x+y)=f(x)+f(y) x,y∈ R ,prove f(x)=f(1)X,x∈R 求证明!
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f（x）定义在R上,满足：1.在x=0是连续的2.f(x+y)=f(x)+f(y) x,y∈ R ,prove f(x)=f(1)X,x∈R 求证明!
f（x）定义在R上,满足：
1.在x=0是连续的
2.f(x+y)=f(x)+f(y) x,y∈ R ,prove f(x)=f(1)X,x∈R 求证明!

f（x）定义在R上,满足：1.在x=0是连续的2.f(x+y)=f(x)+f(y) x,y∈ R ,prove f(x)=f(1)X,x∈R 求证明!
呵呵其实这道题比较简单.
因为f(x)在R上连续,包括零点
所以
①f(2x)=f(x)+f(x)=2f(x) 如此数学归纳法就有f(nx)=nf(x).就有f(n)=nf(1) （注意这里的n是整数）
② 由上面的道理可以得到f(1/nx)=(1/n)f(x) (这里n取整数来证明,你应该会的,效仿上面)
③在②中令x等于m ,就有 f(m/n)=(1/n)f(m) ,因为m是整数 所以可以写成 f(m)=mf(1).
最后等量代换下 就出来了 把m/n看成x 因为一切R都可以写成有理数 此时该式子对一切有理数成立 再由连续性就知道了对于R都成立

因为
f(x+y)=f(x)+f(y) x,y∈ R
所以
[f(x+y)-f(y)]/(x+y-y)=[f(x)-0]/[x-0]
当x.y非常接近时
[f(x+y)-f(y)]/(x+y-y)=f'(x)
所以
f'(x)=[f(x)-0]/[x-0]
所以f(x)=kx,k为实数
又f(0)=2f(0)
所以f(0)=0
f(1)=f(1)
f(2)=2f(1)=2k
所以k=f(1)
所以 f(x)=f(1)X

周期函数和函数奇偶1.已知F（X）是定义在R上的奇函数,满足F（X+2）=-F（X）.当0 已知f(x)是定义在R上的奇函数,且满足f(x+2)=-f(x),当0 1.定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+1)= -f(x),且在[-1,0]上递增,则 （A.f(3） 定义在R上的偶函数f(x)满足f(x-1) 是奇函数,则f（2009）=? 已知定义在r上的偶函数f(x)满足f(x+2)f(x)=1.且f(x)>0.求证：f(x)是周期函数 定义在R上的函数满足f(x)-f(x-5)=0,当-1 f（x）是定义在R上的奇函数,并且f(x)满足f(x+5)=-f(x),f(1)=a,则f(9)= 设函数fx是定义在r上的函数,满足f(x+2)=-f(x),且当0 函数奇偶性1.设f(x)是定义在R上的奇函数,且满足f(x+2)=-f(x),又当0 已知f(x)是定义在R上的奇函数,且满足1.对任意的x,y属于R,有f(x+y)=f(x)+f(y)2.当x>0时,f(x) f(x)是定义在R上的偶函数,满足f(x+2)=-1/f(x),当2 定义在R上的奇函数f（x)满足f(x+2011)=f(x),则f(2011）=? 定义在R上的函数f(x),满足f(x+1)=-f(x),且在区间[-1,0]上为递增,则（ ）A、f(3) 已知定义在R上的偶函数f(x)满足f(x）=f(2-x),求证：f(x)是周期函数 已知定义在R上的函数f(x)满足:(1)对任意的x,y属于R,都有f(xy)=f(x)+f(y);已知定义在R上的函数f(x)满足:(1)对任意的x,y属于R,都有f(xy)=f(x)+f(y);(2)当x>1是,f(x)>0.求证：（1）f(1)=0;(2)对任意的x属于R,都有f(1 定义在R上的函数f(x)满足f(x)={log2(1-x),x小于等于0 f(x-1)-f(x-2),x>0定义在R上的函数f(x)满足f(x)={log2(1-x),x小于等于0 f(x-1)-f(x-2),x>0则f（2009）的值为_____ f(x)定义在R上,满足(1)f(1)=1;(2)0 已知定义在R上的函数f(x)满足当x>0时,f(x)