求定积分∫x^2/(1+x^2)^2dx,上限1,下限0.

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/07/08 15:43:56
求定积分∫x^2/(1+x^2)^2dx,上限1,下限0.
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求定积分∫x^2/(1+x^2)^2dx,上限1,下限0.
求定积分∫x^2/(1+x^2)^2dx,上限1,下限0.

求定积分∫x^2/(1+x^2)^2dx,上限1,下限0.
设x=tanθ ,0=<θ<=π/4
x^2/(1+x^2)^2=(tanθ)^2*(cosθ)^4=(sinθ)^2(cosθ)^2
dx=dtanθ=dθ/(cosθ)^2
所以原式=∫(sinθ)^2dθ=π/8 -1/4

分部积分法也可： x/(1+x^2)^2 dx＝－1/2d[1/(1+x^2)]
∫(0→1) x^2/(1+x^2)^2 dx
＝－1/2×∫(0→1) x d[1/(1+x^2)]
＝－1/4＋1/2×∫(0→1) 1/(1+x^2) dx
＝－1/4＋1/2×arctan1
＝－1/4＋π/8

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