作业帮若实数x、y满足（x+5）^2+（y-12）^2=196,则x^2+y^2的最小值
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/27 06:27:59
若实数x、y满足（x+5）^2+（y-12）^2=196,则x^2+y^2的最小值
若实数x、y满足（x+5）^2+（y-12）^2=196,则x^2+y^2的最小值
若实数x、y满足（x+5）^2+（y-12）^2=196,则x^2+y^2的最小值
用代数方法设参数方程,
因为x^2+y^2,自然联想到三角函数的平方公式,
所以设含三角函数的参数方程.
由(x+5)^2+(y-12)^2=196=14^2,得：
[(x+5)/14]^2+[(y-12)/14]^2=1,
令(x+5)/14=cost, (y-12)/14=sint,则：
x=14cost-5 , y=14sint+12,
所以x^2+y^2=(14cost-5)^2+(14sint+12)^2=-140cost+336sint+365
=28*13*(12/13*sint-5/13*cost)+365
=364sin(t-a)+365 . (其中sina=5/13 , cosa=12/13)
又因为 -1<=sin(t-a)<=1,
所以 1<=x^2+y^2<=729.
故x^2+y^2的最小值为：1.
用几何方法
自然联想到圆及点到点的距离公式.
(x+5)^2+(y-12)^2=196=14^2,
是圆心在P(-5,12),半径r＝14的圆；
M(x,y)是园上的动点,√(x^2+y^2)是动点M到原点O(0,0)的距离,
结合图形,可知：（O在圆P内,三角形任一边大于另两边的差）
|OM|>=r-|OP|=14-√[(-5)^2+12^2]^}=14-13=1,(当且仅当O在PM上时,取等号）
所以 √(x^2+y^2)>=1,
(x^2+y^2)>=1,
故x^2+y^2的最小值为：1.
（x+5）^2+（y-12）^2=196,是一个圆心在A（－5，12），半径R＝14的圆
则x^2+y^2表示圆上一点到原点的距离的平方。
OA＝根号（5^2+12^2)=13
所以，x^2+y^2的最小值＝（14－13）^2=1
答案是1 用几何意义解题 (x+5)^2+(Y-12)^2=196意义是点（x，y）到（-5，12）距离为14所以该点（x,y)轨迹方程是圆 （-5，12）到（0，0）距离是13 x^2+y^2意义是（x,y)到（0，0）距离 所以14-13=1最小值是1
用参数方程法解
令x+5=14cosa
则(y-12)²=14²-14²cos²a=14²sin²a
y-12=14sina
x=14cosa-5,y=14sina+12
x²+y²=196cos²a-140cosa+25+196sin²a+336sina+1...
全部展开
用参数方程法解
令x+5=14cosa
则(y-12)²=14²-14²cos²a=14²sin²a
y-12=14sina
x=14cosa-5,y=14sina+12
x²+y²=196cos²a-140cosa+25+196sin²a+336sina+144
=196(sin²a+cos²a)+336sina-140cosa+169
=196+336sina-140cosa+169
=336sina-140cosa+365
=√(336²+140²)sin(a-b)+365
=364sin(a-b)+365
其中tanb=140/336
sin(a-b)最小=-1
所以x²+y²最小=-364+365=1
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