已知直线l与椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1与直线L相交于P、Q两点,OP⊥OQ,求证:1/|OP|^2+1/|OQ|^2为定值.

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/29 18:27:52
已知直线l与椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1与直线L相交于P、Q两点,OP⊥OQ,求证:1/|OP|^2+1/|OQ|^2为定值.
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已知直线l与椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1与直线L相交于P、Q两点,OP⊥OQ,求证:1/|OP|^2+1/|OQ|^2为定值.
已知直线l与椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1与直线L相交于P、Q两点,OP⊥OQ,求证:1/|OP|^2+1/|OQ|^2为定值.

已知直线l与椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1与直线L相交于P、Q两点,OP⊥OQ,求证:1/|OP|^2+1/|OQ|^2为定值.
因为点P为椭圆上的点,所以设点P(acosα,bsinα)
所以OP的斜率为k1=bsinα/acosα
又因为OP垂直于OQ所以两条直线的斜率乘积为-1,
所以直线OQ的方程为y=(-acosα/bsinα)x
将OQ方程y=(-acosα/bsinα)x与椭圆的方程x^2/a^2+y^2/b^2=1联立,
得到x^2=[a^2*b^4*(sinα)^2]/[a^4*(cosα)^2+b^4*(sinα)^2]
y^2=[a^4*b^2*(cosα)^2]/[a^4*(cosα)^2+b^4*(sinα)^2]
此（x,y）即为Q点坐标,
所以1/|OQ|^2=1/(x^2+y^2)=[a^4*(cosα)^2+b^4*(sinα)^2]/[a^4*b^2*(cosα)^2+a^2*b^4*(sinα)^2]
又因为1/|OP|^2=1/[a^2*(cosα)^2+b^2*(sinα)^2]
所以1/|OP|^2+1/|OQ|^2
=[a^4*(cosα)^2+b^4*(sinα)^2+a^2*b^2]/(a^2*b^2)[a^2*b^2*(cosα)^2+a^2*b^2*(sinα)^2]
=(a^2+b^2)[a^2*b^2*(cosα)^2+a^2*b^2*(sinα)^2]/(a^2*b^2)[a^2*b^2*(cosα)^2+a^2*b^2*(sinα)^2]
=(a^2+b^2)/(a^2*b^2)
所以为定值.

已知椭圆M为y^2/4+x^2/2=1,A(1,√2).已知直线l的斜率为√2,若直线l与椭圆M交于B,C两点,求ABC面积的最大值 已知椭圆C的左右焦点为F1F2,离心率为e,直线l:y=ex+a与x轴y轴分别交与点A,B已知椭圆C：x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的左右焦点为F1F2,离心率为e,直线l:y=ex+a与x轴y轴分别交与点A,B,M是直线与椭圆C的以个公共 已知m>1,直线l：x-my-m^2/2=0椭圆C：x^2/m^2+y^2=1,F1、F2分别为椭圆的左右焦点.已知m>1,直线l：x-my-（m^2）/2=0椭圆C：x^2/m^2+y^2=1,F1、F2分别为椭圆的左右焦点.设直线l与椭圆C交于A,B两点,三角形AF1F2,三 已知m>1,直线l:x-my+m/2=0,椭圆C:x^2/m+y^2=1,F1、F2分别为椭圆C的左、右焦点设直线l与椭圆C交与A,B两点,若弦AB中点的纵坐标是3/8,求椭圆C的方程 已知椭圆x^2/4+y^2/2=1,过F1的直线l与椭圆C交于A,B两点,若椭圆C上存在点P,使得向量OP=向量OA+向量OB,求 已知椭圆x^2/4+y^2/2=1,过F1的直线l与椭圆C交于A,B两点,若椭圆C上存在点P,使得向量OP=向量OA+向量O 已知椭圆C：x^2/8+y^2/4=1的左焦点为F1,直线l:y=x-2与椭圆C交于A,B两点.求△ABF1的面积. 已知椭圆C：x^2/8+y^2/4=1的左焦点为F1,直线l:y=x-2与椭圆C交于A,B两点求：线段AB的长 已知椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1,(a>b>0)与直线l 2x+y-2=0交于A,B两点,且OA⊥OB,椭圆c的长轴长是短轴长的2倍 求椭圆c的离心率 求椭圆c的方程 若圆Q（x-m）^2+y^2=r^2在椭圆c的内部,且与直线l相切,求圆q的半径r 已知椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1,(a>b>0)与直线l 2x+y-2=0交于A,B两点,且OA⊥OB,椭圆c的长轴长是短轴长的2倍 求椭圆c的离心率求椭圆c的方程若圆Q（x-m）^2+y^2=r^2在椭圆c的内部,且与直线l相切,求圆q的半径r 已知直线l：y=x+1,圆O：x^2+y^2=3/2.已知直线l：y=x+1,圆O：x^2+y^2=3/2,直线l被园截得弦长与椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>0) 的短轴长相等,椭圆的离心率e=√2 /2 1.椭圆方程为x^2/2+y^2=1(这个我会求,想问下一问) 已知中心在原点'焦点在X轴上的椭圆C的离心率e＝二分之一'直线l1：x+2y-4＝0是椭圆C的切线 求椭圆C的标准方程设直线l1与直线l：x＝-4设交于点A椭圆C的左焦点为F 求证AF⊥BF 一道高二数学椭圆题已知直线l：y=x+k经过椭圆C：x^2/a^2+y^2/b^2=1（a>1)的右焦点F2且与椭圆C交于A、B两点,若以弦AB为直径的圆经过椭圆的左焦点F1,求椭圆C的方程.写出步骤. 已知椭圆C:x^2/4+y^2=1,直线过点P(0,2)与椭圆交于A,B两点,且OA*OB=3,求直线l的方程 已知椭圆x^2/8+y^2/4=1,过点P(1,1)做直线l与椭圆交于M,N两点,（1）若点P平分线段MN,试求直线l的方程；(2)设与满足（1）中条件的直线l平行的直线与椭圆交于A,B两点,AP与椭圆交于点C,BP与椭圆交于点 椭圆C 的中心在原点,焦点在x 轴上,已知斜率为1/2的直线l 与椭圆C 相交...椭圆C 的中心在原点,焦点在x 轴上,已知斜率为1/2的直线l 与椭圆C 相交于A B两点,A (2,3),椭圆C 的右焦点F2到直线AB的距离 已知椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1,的离心率为√3/2,直线x-y+1=0经过椭圆c的顶点,直线x=-1与 椭圆相交于A,B两点,p是椭圆上异于A,B的任意一点,直线AP,BP分别交定直线l:x=-4于两点Q,R.求椭圆c方程.求证向量OQ· 已知直线l与椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1与直线L相交于P、Q两点,OP⊥OQ,求证:1/|OP|^2+1/|OQ|^2为定值. 已知椭圆C:x2/8 y^2/m^2=1(m>0),直线L:y=√2/2x,若直线L与椭圆C的一个交点A在x轴上的射影恰好是椭圆C的焦点,则m的值为