已知直线l与椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1与直线L相交于P、Q两点,OP⊥OQ,求证:1/|OP|^2+1/|OQ|^2为定值.
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/10 14:50:10
![已知直线l与椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1与直线L相交于P、Q两点,OP⊥OQ,求证:1/|OP|^2+1/|OQ|^2为定值.](/uploads/image/z/12692245-13-5.jpg?t=%E5%B7%B2%E7%9F%A5%E7%9B%B4%E7%BA%BFl%E4%B8%8E%E6%A4%AD%E5%9C%86C%3Ax%5E2%2Fa%5E2%2By%5E2%2Fb%5E2%3D1%E4%B8%8E%E7%9B%B4%E7%BA%BFL%E7%9B%B8%E4%BA%A4%E4%BA%8EP%E3%80%81Q%E4%B8%A4%E7%82%B9%2COP%E2%8A%A5OQ%2C%E6%B1%82%E8%AF%81%3A1%2F%7COP%7C%5E2%2B1%2F%7COQ%7C%5E2%E4%B8%BA%E5%AE%9A%E5%80%BC.)
已知直线l与椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1与直线L相交于P、Q两点,OP⊥OQ,求证:1/|OP|^2+1/|OQ|^2为定值.
已知直线l与椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1与直线L相交于P、Q两点,OP⊥OQ,求证:1/|OP|^2+1/|OQ|^2为定值.
已知直线l与椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1与直线L相交于P、Q两点,OP⊥OQ,求证:1/|OP|^2+1/|OQ|^2为定值.
因为点P为椭圆上的点,所以设点P(acosα,bsinα)
所以OP的斜率为k1=bsinα/acosα
又因为OP垂直于OQ所以两条直线的斜率乘积为-1,
所以直线OQ的方程为y=(-acosα/bsinα)x
将OQ方程y=(-acosα/bsinα)x与椭圆的方程x^2/a^2+y^2/b^2=1联立,
得到x^2=[a^2*b^4*(sinα)^2]/[a^4*(cosα)^2+b^4*(sinα)^2]
y^2=[a^4*b^2*(cosα)^2]/[a^4*(cosα)^2+b^4*(sinα)^2]
此(x,y)即为Q点坐标,
所以1/|OQ|^2=1/(x^2+y^2)=[a^4*(cosα)^2+b^4*(sinα)^2]/[a^4*b^2*(cosα)^2+a^2*b^4*(sinα)^2]
又因为1/|OP|^2=1/[a^2*(cosα)^2+b^2*(sinα)^2]
所以1/|OP|^2+1/|OQ|^2
=[a^4*(cosα)^2+b^4*(sinα)^2+a^2*b^2]/(a^2*b^2)[a^2*b^2*(cosα)^2+a^2*b^2*(sinα)^2]
=(a^2+b^2)[a^2*b^2*(cosα)^2+a^2*b^2*(sinα)^2]/(a^2*b^2)[a^2*b^2*(cosα)^2+a^2*b^2*(sinα)^2]
=(a^2+b^2)/(a^2*b^2)
所以为定值.