作业帮大家都知道n阶奇数幻方吧?现在,输入奇数n,n不会编程序也没关系 只要帮忙找出规律就行了！
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/30 14:46:59
大家都知道n阶奇数幻方吧?现在,输入奇数n,n不会编程序也没关系 只要帮忙找出规律就行了！
大家都知道n阶奇数幻方吧?现在,输入奇数n,n
不会编程序也没关系 只要帮忙找出规律就行了！
大家都知道n阶奇数幻方吧?现在,输入奇数n,n不会编程序也没关系 只要帮忙找出规律就行了！
首先幻方的结果不是唯一的.
最简单的,沿着对称轴反射一下结果就会不同(至少在表面上不同).
此外,n较大的时候还有很多本质上不同的解.
所以"右下角的值"只能说是某种填法下右下角的值.
奇数阶幻方有一种简单的构造方法,以3阶为例.
首先在第1行中间填1:
0 1 0
0 0 0
0 0 0
然后向"右上"依次填2,3,...,从上(右)方边界溢出的情况从下(左)方进入:
0 1 0
3 0 0
0 0 2
遇到已经填过的位置,从正下方一格继续:
0 1 6
3 5 0
4 0 2
填到右上角,同样从正下方一格继续:
8 1 6
3 5 7
4 9 2
按如上规则,填完所有数之后即为满足条件的幻方.
从构造过程不难知道各行,各列的和都是相等的,只需要讨论对角线.
可以证明最后一个数n²一定填在第n行的正中间,即与1中心对称的位置.
观察从n²开始,反填n²-1,n²-2,...可知其于正向过程总是中心对称的的.
因此中心对称的两数之和恒为n²+1,而中位数(n²+1)/2恰好填在中心格.
于是对角线的和为(n²+1)/2+(n²+1)·(n-1)/2 = n(n²+1)/2 = 各行列的和.
这样就证明了填法满足要求.
在上述填法下,左下角有简单的表达式.
因为中心格为(n²+1)/2,所以左下至右上角依次为(n²+1)/2-(n-1)/2至(n²+1)/2+(n-1)/2的连续整数.
即左下角为(n²-n)/2+1.
由填法可知,左下角的正上方一格为(n²-n)/2,其前一格即右下角为(n²-n)/2-1.
即存在一种填法,使右下角为(n²-n)/2-1.
当然,由对称性,同样存右下角为(n²-n)/2+1,(n²+n)/2,(n²+n)/2+2的填法.