作业帮如图,三角形ABC中,D为AC边上一点,且AD=DC+CB,过D作AC的垂线交三角形ABC的外接圆于M,过M作AB的垂线MN交圆于N.求证MN为三角形外接圆的直径.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/17 11:29:10
如图,三角形ABC中,D为AC边上一点,且AD=DC+CB,过D作AC的垂线交三角形ABC的外接圆于M,过M作AB的垂线MN交圆于N.求证MN为三角形外接圆的直径.
如图,三角形ABC中,D为AC边上一点,且AD=DC+CB,过D作AC的垂线交三角形ABC的外接圆于M,过M作AB的垂线MN交圆于N.求证MN为三角形外接圆的直径.
如图,三角形ABC中,D为AC边上一点,且AD=DC+CB,过D作AC的垂线交三角形ABC的外接圆于M,过M作AB的垂线MN交圆于N.求证MN为三角形外接圆的直径.
延长AC到E,使得BC=CE,连接MA,MB,ME,BE.
由AD= DC+BC,有AD=DC+CE=DE,而MD垂直于AE,因此MD是AE的中垂线,于是有MA=ME,角MAE=角MEA.
根据圆的性质有,角MAE=角MBC,有角MBC=角MEA；根据BC=CE,有角CBE=角CEB,因此角MBE=角MEB,因此MB=ME,根据MA=ME,有MA=MB,MN垂直于AB,因此MN是AB的中垂线,根据圆心到三角形三个端点等距的性质,知道,圆心在MN上.根据直径的定义,知道,MN经过圆心就是外接圆直径,
证明：延长AC至E，使CE=BC，连接MA、MB、ME、BE，如图，
∵AD=DC+BC，
∴AD=DC+CE=DE，
∵MD⊥AE，
∴MA=ME，∠MAE=∠MEA，
又∵∠MAE=∠MBC，
∴∠MEC=∠MBC，
又∵CE=BC，
∴∠CEB=∠CBE，
∴∠MEA+∠CEB=∠MBC+∠CBE，
即∠MEB=...
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证明：延长AC至E，使CE=BC，连接MA、MB、ME、BE，如图，
∵AD=DC+BC，
∴AD=DC+CE=DE，
∵MD⊥AE，
∴MA=ME，∠MAE=∠MEA，
又∵∠MAE=∠MBC，
∴∠MEC=∠MBC，
又∵CE=BC，
∴∠CEB=∠CBE，
∴∠MEA+∠CEB=∠MBC+∠CBE，
即∠MEB=∠MBE，
∴ME=MB，
又∵ME=MA，
∴MA=MB，
又∵MN⊥AB，
∴MN垂直平分AB，
∴MN是圆的直径．
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