22界初二希望杯一试解析（全部都要）

22界初二希望杯一试解析（全部都要）
22界初二希望杯一试解析（全部都要）

22界初二希望杯一试解析（全部都要）
希望杯小学试题分类解析
首都师范大学数学科学学院 周春荔
小学“希望杯”全国数学邀请赛始创于2003年春季,目前的对象为小学四、五、六三个年级. 到2007年结束后,累计参赛小学生达200万人,获奖学生近10万人.
目前,小学“希望杯”全国数学邀请赛日益引起小学数学教育界的广泛的兴趣和关注,普遍认为,这为小学数学教育和小学课外活动注入了一股活力.竞赛分一试和二试.一试共20道填空题,类型齐全,由易到难,注重基础,机智灵活；二试共16道题,其中12道填空题,4道解答题.题目的难度比一试略有增加.
我们仅以第五届小学“希望杯”全国数学邀请赛六年级的试题为代表进行一些必要的解析,供大家研究参考.
一、直观识图与信息识别
例1. 如图是2003年以来我国日石油需求量和日石油供应量的统计图.由图可知,我国日石油需求量和日石油供应量都在增长,但日石油需求量增长更 （填“大”或“小” ）,可见我国对进口石油的依赖程度不断 （填“增加”.或“减小” ）.（一.6）
我国日石油需求
量和日石油供应量都在增长,
但日石油需求量增长更大,
可见我国对进口石油的依
赖程度不断增加.
例2. 小华拿一个矩形木框在阳光下玩,他看到矩形木框在地面上的影子不可能是图中的 .（填序号）（二.1）
填①. 因为阳光是平行光线,矩形木框在地面上的影子不可能是梯形,所以填①.
例3. 气象台预报“本市明天的降水概率是80%”. 对此信息,下列说法中正确的是 . （填序号）（二.2）
①本市明天将有80%的地区降水.
②本市明天将有80%的时间降水.
③明天肯定下雨.
④明天降水的可能性比较大.
“本市明天的降水概率是80%”是指本市明天降水的可能性是80%,所以①、②、③均不正确,④正确,应填④.
例4. 将一块正方形纸片沿对角线折叠一次,然后在得到的三角形的三个角上各挖去一个圆洞,再展开正方形纸片,得到图中的 . （填序号）（二.3）
思维想象如下的操作,知应填③
二、比例与百分比计算
例1. 已知 a : b = : 1.2, b : c = 0.75 : ,那么c : a = .（写成最简单的整数比）（一.1）
a : b = : 1.2 = : = : =15 : 12,
b : c = 0.75 : = : = : =3 : 2 = 12 : 8,
所以 c : a = 8 : 15.
例2. 过年时,某种商品打八折销售,过完年,此商品提价 %可恢复到原来的价格.（一.5）
设此种商品原来的价格是a元,则打八折后的价格是0.8 a元,提价x%后可恢复到原价,由题意可列方程

解得 x = 25. 即提价25%后可恢复到原价.
例3. 小红和小明帮刘老师修补一批破损图书.根据图中的信息计算,小红和小明一共修补图书 本.（一.7）
小红和小明一共修补破损图书的65%多1本,则这批破损图书一共有
（本）,
小红和小明一共修补破损图书60 - 20 = 40（本）.
例4. 一杯盐水,第一次加入一定量的水后,盐水的含盐百分比变为15%；第二次又加入同样多的水,盐水的含盐百分比变为12%；第三次再加入同样多的水,盐水的含盐百分比将变为 %.（一.20）
设盐水中有盐a克,有水b克.每次新加入的等量水为x克.则
第一次加入x克的水后,有 ①
第二次又加入x克的水后,有 ②
问题是求：第三次又加入x克的水后,
由① 得 ③
由② 得 ④
④ - ③得
所以
因此
答：第三次再加入同样多的水后,盐水的含盐百分比将变为10%.
例5. 如图是华联商厦3月份甲、乙、丙三种品牌
彩电的销售量的统计图,预计4月份甲、乙、丙、三种
品牌彩电的销售量将分别增长5%,10%和20%.根据预
测,甲、丙两种品牌彩电4月份的销售量之和为 台.
（二.4）
由统计图知
华联商厦3月份甲、乙、丙三种品牌彩电的销售量分别为40台,20台,30台.
预测4月份甲、乙、丙、三种品牌彩电的销售量将分别增长5%,10%和20%.
所以根据预测,甲、丙两种品牌彩电4月份的销售量之和为
40 + 30 + 40×5% + 30×20% = 78（台）.
例6. 根据图中的对话内容,分别求出饼干和牛奶的标价各多少元?（二.15）
因为一盒饼干和一袋牛奶的标价总和大于10元,且当饼干打9折时,一盒饼干和一袋牛奶共需 10 - 0.8 = 9.2（元）
所以一盒饼干的标价大于 （元）
根据对话内容知 一盒饼干的标价是整数元,
因此,一盒饼干的标价只能是9元或10元.
一袋牛奶的标价是 （元）
或 （元）.
答：一盒饼干的标价是9元,一袋牛奶的标价是1.1元；或一盒饼干的标价是10元,一袋牛奶的标价是0.2元.
另一盒饼干的标价是 元,一袋牛奶的标价是 元,则依对话内容可得

可得
因为 是整数,所以 = 9或10.
因此 = 9时 ； = 10时
答：一盒饼干的标价是9元,一袋牛奶的标价是1.1元；或一盒饼干的标价是10元,一袋牛奶的标价是0.2元.
三、巧算估算定义新运算
例1. = .（一.2）
原式=
例2. 在下面算式的□中填入四个运算符号＋、－、×、÷（每个符号只填一次）,则计算结果最大是 . （一.3）
1□2□3□4□5
算式 的计算结果最大,等于
例3. 对于非零自然数a和b,规定符号 的含义是： （m是一个确定的自然数）.如果 ,那么 .（二.5）
因为 ,
所以 , .
又已知 ,所以 即
于是有 ,解得
从而
例4. 在横线上分别填上两个相邻的数,使不等式成立.（一.14）
.
因为
=

而
所以
即
例5. 的整数部分是 .（二. 6）

又
所以 的整数部分是501.
四、整数问题与智巧问题
例1. 在右图所示的3×3方格表中填入合适的数,使每行、
每列以及每条对角线上的三个数的和相等.那么标有“★”的
方格内应填入的数是 .（一. 4）
如右下图,由 3 + 7 + ★ = 4 + a + ★,
得 a = 6.
再由 7 + a + c = 4 + b + c
得 b = 9.
所以 由 3 + 7 + ★ = 3 + a + b = 3 + 6 + 9 =18
可得 ★ = 18 –3 –7 = 8.
例2. 三个数 都是质数,它们的倒数和的倒数是 .（一.12）
是两个连续整数,他们都是质数,只能是2,3.所以 只能是2,3,5,他们的倒数和的倒数是
例3.一个两位数的中间加上一个0,得到的三位数比原两位数的8倍小1.原来的两位数是 . （一.13）
设原来的两位数是 则新数为
依题意有 ,即 .
由于a,b是整数,且 所以 即 .
答：原来的两位数是13.
例4. 在一次动物运动会的60米短跑项目结束后,小鸡发现：小熊、小狗和小兔三只动物的平均用时为4分钟,而小熊、小狗、小兔和小鸭四只动物的平均用时为5分钟.请问,小鸭在这项比赛中用时 分钟.（二.7）
由平均数定义,知
小熊、小狗和小兔三只动物所用时间和为 4 × 3 = 12（分）,
而小熊、小狗、小兔和小鸭四只动物所用时间和为 5 × 4 = 20（分）,
所以小鸭在这项比赛中用时为 20 – 12 = 8（分）.
例5. 2007年4月15日（星期日）是第5届小学“希望杯”全国数学邀请赛举行第2试的日子,那么这天以后的第2007+4×15天是星期 . （二.8）
2007 + 4 × 15 = 2067,而2067 ÷ 7 = 295 ……2.,
所以,2007年4月15日以后的第2007+4×15天是星期二.
例6. 将16个相同的小正方体拼成一个体积为16立方厘米的长方体,表面涂上漆,然后分开,则3个面涂漆的小正方体最多有 个,最少有 个.（二.9）
体积为16立方厘米的长方体木块能够分成16个相同的小正方体,由此可知正方体的棱长是1厘米.而且,长方体的棱长都是整数厘米.
因为16 = 1 × 1 × 16 = 1 × 2 × 8 = 1 × 4 × 4 = 2 × 2 × 4,
即体积为16立方厘米的长方体的三条棱长只有4种可能：
① 1,1,16； ②1,2,8； ③1,4,4； ④2,2,4.
其中,第①种长方体在切开后,3个面涂漆的小正方体有0个；
第②种长方体在切开后,3个面涂漆的小正方体有12个；
第③种长方体在切开后,3个面涂漆的小正方体有8个；
第④种长方体在切开后,3个面涂漆的小正方体有8个.
所以,3个面涂漆的小正方体最多有12个,最少有0个.
例7. 已知n个自然数之积是2007,这n个自然数之和也是2007,那么n的值最大是 . （二.10）
将2007进行质因数分解,得 2007 = 3 × 3 × 223,
又 =
此时,n =1778 + 3 = 1781,是满足题意的最大值.
例8. 将1至8这8个自然数分别填入图中的正方体的
八个顶点处的○内,并使每个面上的四个○内的数字之和
都相等.求与填入数字1的○有线段相连的三个○内的数的
和的最大值. （二.13）
将正方体的六个面上的数字都加起来,那么所有的数字就都加了3次,即
,
而 108 ÷ 6 =18 ,所以每个面上的数字和是18.
由题意知,与填入数字1的○有线段相连的三个○内
的数的和的最大是6,7,8.
又如图所示的填法满足题意. 所以,与填入数字1的
○有线段相连的三个○内的数的和的最大值是
6 + 7 + 8 = 21.
五、相遇追及和行程问题
例1. 甲、乙两车分别从A、B两地同时相向开出,甲车的速度是50千米/时,乙车的速度是40千米/时.当甲车驶过A、B距离的 多50千米时与乙车相遇. A、B两地相距 千米.（一.9）
相遇时,甲、乙两车行驶的路程之比是5 : 4,则A、B两地相距
（千米）.
另解1：在相同时间内,当甲车驶过A、B距离的 又50千米时,乙车驶过A、B距离的 少50千米.
设想,如果乙车速度为20千米/时,则在同样的时间内,乙车驶过A、B距离的 少25千米.
因此,在同样的时间内,甲车比乙车多走50 + 25千米,由于甲车比乙车每小时多走50 – 20 =30千米,所以,甲车比乙车多走50 + 25千米要用
（50 + 25）÷（50 – 20）= 2.5（小时）
A、B两地相距 （50 + 40）×2.5 = 225（千米）.
另解2：设A、B两地相距x千米,则
,解得 x == 225（千米）.
例2. 甲、乙两车同时从A、B两地相向对开,两车第一次在距A地32千米处相遇,相遇后两车继续行驶,各自达到B、A两地后,立即沿原路返回,第二次在距A地64千米处相遇,则A、B两地间的距离是 千米.（二.12）
设第一次相遇点为C,则
AC = 32；
第二次相遇点为D,AD = 64.
两次相遇两人共行3个AB的路程,
因此甲行3个AC = 32到点D,即AB + BD = 32×3,又AD = 64,
所以 32×3 + 64等于2个AB.
因此,A、B两地间的距离为 （千米）.
例3. 两条公路成十字交叉,甲从十字路口南1200米处向北直行,乙从十字路口处向东直行.甲、乙同时出发10分钟,两人与十字路口的距离相等；出发后100分钟,两人与十字路口的距离再次相等,此时他们距离十字路口多少米?（二.16）
由甲、乙同时出发10分钟,两人与十字路口的距离OB = OC；可以想象为甲从A乙从O同时相向而行,10分钟相遇于B,共行1200米,所以甲、乙速度和为
1200 ÷ 10=120（米）
由出发后100分钟,两人与与十字路口的距离再次相等,OD = OE,可以想象
为甲从A乙从O同时同向而行,100分钟甲追及乙于D,甲比乙100分钟多行1200米. 因此甲、乙速度差为 1200 ÷ 100=12（米）
因此,甲速为（120 + 12）÷ 2 = 66（米/分）
乙速为（120 -12）÷ 2 = 54（米/分）
第二次两人与十字路口等距时,他们距离十字路口O为54×100 = 5400（米）.
另设甲的速度为 米/分,乙的速度为 米/分,则
①
②
①×10 - ② 得
（米）.即他们距离十字路口为 5400（米）.
答：第二次两人与十字路口等距时,他们距离十字路口为5400（米）.
六、面积比例与面积计算
例1. 如图所示,ABCD是边长为10厘米的正方形,
且AB是半圆的直径,则阴影部分的面积是
平方厘米.（ 取3.14）（一.17）
如图,过E作AB的垂线,垂足为O.
因为
所以 点O是半圆的圆心.
则

（平方厘米）.
例2. 如图所示,房间里有一只老鼠,门外有一只小猫.如果每块正方形地砖的边长为50厘米,那么老鼠在地板上能避开小猫视线的活动范围为 平方厘米.（将小猫和老鼠分别看作两个点,墙的厚度忽略不计）（一.18）

如图,阴影部分区域为老鼠在地面
上能避开小猫视线的活动范围.这个范围
的总面积为

= 66250（平方厘米）
例3. 如图,三角形田地中有两条小路 和 ,交
叉处为D,张大伯常走这两条小路,他知道DF=DC,且
AD =2DE.则两块田地ACF和BCF的面积比是 .（二11）
连接BD,已知DF=DC,根据等地同高的两个
三角形面积相等,得 三角形ADC和三角形ADF的面积相等,
三角形BDC和三角形BDF的面积相等,
又 因为AD = 2DE,
所以 三角形ACD的面积 = 三角形ECD面积的2倍,
三角形ABD的面积 = 三角形EBD面积的2倍,
所以 三角形ACF的面积 = 三角形ACD面积的2倍,
= 三角形ECD面积的4倍,
由 三角形ABD的面积 = 三角形ADF面积 + 三角形BDF面积,
知 三角形ADF面积 + 三角形BDF面积 = 三角形EBD的面积的2倍,
即 三角形ECD面积的2倍 + 三角形ECD的面积 + 三角形EBD的面积
= 三角形EBD面积的2倍,
所以 三角形EBD的面积 = 三角形ECD面积的3倍,
于是 三角形CBF的面积 = 三角形ECD面积的8倍,
因此,两块田地ACF和BCF的面积比为 4 : 8,即1 : 2.
另填图法. 连接BD,设三角形ECD面积为 ,三角形EBD面积 ,按面积的比例填图：
由三角形BDF面积
= 三角形ADF面积的2倍
即 .
三角形ACF面积 : 三角形BCF的面积
= : = 1 : 2.
七、应用问题的归一思想
例1. 小李现有一笔存款,他把每月支出后剩余的钱都存入银行.已知小李每月的收入相同,如果他每月支出1000元,则一年半后小李有存款8000元（不计利息）；如果他每月支出800元,则两年后他有存款12800元（不计利息）.小李每月的收入是 元,他现有存款 元.（一.19）
设小李现有一笔存款数为W,每月的固定收入为a, 则依题意可得
①
②
② - ① 得 ,
即 ,因此 （元）, （元）.
答：小李现有存款8000元.
例2. 2006年夏天,我国某地遭遇了严重干旱,政府为了解决村民引水问题,在山下的一眼泉水旁修了一个蓄水池,每小时有40立方米泉水注入池中.第一周开动5台抽水机,2.5小时就把一池水抽完；接着第二周开动8台抽水机,1.5小时就把一池水抽完.后来由于旱情严重,开动13台抽水机同时供水,请问这时几小时可以把这池水抽完?（二.14）
设满池水量为W立方米. 因为第一周开动5台抽水机,2.5小时就把一池水抽完,所以5台抽水机,2.5小时抽的水总量为W + 40×2.5立方米；也就是相当于： 1台抽水机2.5×5小时抽的水总量为W + 40×2.5立方米.
又 第二周开动8台抽水机,1.5小时就把一池水抽完,所以8台抽水机,1.5小时抽的水总量为W + 40×1.5立方米；也就是相当于：
1台抽水机1.5×8小时抽的水总量为W + 40×1.5立方米.
相减得 1台抽水机2.5×5 - 1.5×8小时抽的水总量为40×2.5- 40×1.5立方米.
因此1台抽水机1小时的抽水量为
（40 ×2.5 – 40 ×1.5）÷（2.5 × 5 - 1.5 × 8）=（100-60）÷ 0.5 = 80（立方米）
所以水池容水量W = 80 × 8 ×1.5–40 ×1.5 = 900（立方米）.
由于,开动13台抽水机1小时的抽水量为80 ×13 –40（立方米）
因此,13台抽水机同时抽水,900÷（80 ×13 –40）= 0.9（小时）可把这池水抽完.
八、简单类型的组合计数
例1. 小君家到学校的道路如图所示.从小君家到学校有 种不同的走法.（只能沿图中向右或向下的方向走）（一.15）
由图中标数法可知,一共有10种不同的走法.
例2. 一种电子表在10点28分6秒时,显示的时间
如图所示.那么从10点至10点半这段时间内,电子表上
六个数字都不相同的时间有 个. （一.16）
在10点至10点半这段时间内,要使电子表上六个数都不相同,前三个数字显然是1,0,2.
设时间为10：2a：bc,其中b可在3,4,5中选择,a,c可在3,4,5,6,7,8,9中选择.先确定b,有3种选法；然后确定a,有6种选法；最后确定c,有5种选法.
所以,从10点至10点半这段时间内,电子表上六个数字都不相同的时间一共有 3 × 6 × 5 = 90（个）.
九、形形色色的分数四则
例1. 一项工程,甲单独完成需10天,乙单独完成需15天,丙单独完成需20天,三人合作3天后,甲有其他任务而退出,剩下乙、丙继续工作直至完工.完成这项工程共用 天.（一.8）
甲单独作每天可完成这项工程的 ,乙单独作每天可完成这项工程的 ,
丙单独作每天可完成这项工程的 .
三人合作3天,可完成这项工程的
剩下乙、丙继续工作的任务量为这项工程的 ,
乙、丙合作每天可完成这项工作的 ,因此剩下乙、丙继续工作的任务量 只需 （天）即可完成,所以完成整个工程共用了 3 + 3 = 6（天）.
综合列式为 （天）
例2. 今年儿子的年龄是父亲年龄的 15年后,儿子的年龄是父亲年龄的 今年儿子 岁. （一.10）
设今年儿子 岁,由题设知今年儿子的年龄是父亲年龄的 所以父亲4 岁.
15年后,儿子 +15岁,父亲 岁,
由题设 ,解得 =10.
答：今年儿子10岁.
例3. 假设地球有两颗卫星A、B在各自固定的轨道上环绕地球运行,卫星A环绕地球一周用 小时,每过144小时,卫星A比卫星B多环绕地球35周. 卫星B环绕地球一周用 小时. （一.11）
144小时,卫星A绕地球转了144÷ = 80（周）由于,在此期间卫星A比卫星B多环绕地球35周,所以卫星B绕地球转了 （周）,因此卫星B绕地球转一周用 （小时）.
另卫星A环绕地球一周用 小时,则一小时转 （周）,又
每过144小时,卫星A比卫星B多环绕地球35周,则每小时卫星A比卫星B多环绕地球 （周）.因此,卫星B一小时环绕地球转 （周）,
所以,卫星B环绕地球一周需要 （小时）.
综合列式为： （小时）

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