证明当x≠0时e^x>1+x恒成立证明：当x不等于0时,e^x > 1+x 恒成立

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/12/01 17:13:38
证明当x≠0时e^x>1+x恒成立证明：当x不等于0时,e^x > 1+x 恒成立
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证明当x≠0时e^x>1+x恒成立证明：当x不等于0时,e^x > 1+x 恒成立
证明当x≠0时e^x>1+x恒成立
证明：当x不等于0时,e^x > 1+x 恒成立

证明当x≠0时e^x>1+x恒成立证明：当x不等于0时,e^x > 1+x 恒成立
设y＝e^x－x－1,求导数,得：y′＝e^x－1,y′′＝e^x＞0.
令y′＝e^x－1＝0,得：x＝0,即y在x＝0时有极小值,易求出极小值是0.
∵e^x－x－1在x＝0时有极小值为0,∴说明e^x－x－1在x≠0时大于0,
由e^x－x－1＞0,得：e^x＞x＋1
∴e^x＞x＋1在x≠0时恒成立.

令f(x)=e^x-x-1
对f(x)求导得
f`(x)=e^x-1
当x>0时,f`(X)>0
即当x>0时,f(X) 单调增加
当x<0时,f`(x)<0
即当x<0时,f(X)单调减少
所以当x=0时f(x)为最小值,即f(0)=0
所以f(x)=e^x-x-1>=0
故当x≠0时,e^x-x-1即,e^x>1+x
证毕
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