已知x,y属于R,x²-2xy+2y²=2,求x+y的取值范围

已知x,y属于R,x²-2xy+2y²=2,求x+y的取值范围
已知x,y属于R,x²-2xy+2y²=2,求x+y的取值范围

已知x,y属于R,x²-2xy+2y²=2,求x+y的取值范围
t = x + y,x = t - y
x²-2xy+2y² = x² + 2xy + y² - 4xy + y²
= (x + y)² - 4xy + y²
= t² - 4(t - y)y + y²
= t² - 4yt + 5y² = 2
t² - 4yt + 5y² - 2 = 0
t = y ± √(2 - y²)
(1) t = y + √(2 - y²)
对y求导数:t' = 1 - y/√(2 - y²) = 0
y = 1时,t取最大值2
y = -√2时,t取最小值-√2
(2)
t = y - √(2 - y²)
对y求导数:t' = 1 + y/√(2 - y²) = 0
y = -1时,t取最小值-2
y = √2时,t取最大值√2
二者结合,-2 ≤ x + y ≤ 2

负无穷到2加根号2