作业帮已知f(x)在（0,正无穷）上是增函数,且f(x)>0,f(3)=1.判断g(x)=f(x)+1/f（x)在（0,3]上是增函数还是减函数,并加以证明
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/07/17 10:06:21
![已知f(x)在（0,正无穷）上是增函数,且f(x)>0,f(3)=1.判断g(x)=f(x)+1/f（x)在（0,3]上是增函数还是减函数,并加以证明](/uploads/image/z/12975285-21-5.jpg?t=%E5%B7%B2%E7%9F%A5f%28x%29%E5%9C%A8%EF%BC%880%2C%E6%AD%A3%E6%97%A0%E7%A9%B7%EF%BC%89%E4%B8%8A%E6%98%AF%E5%A2%9E%E5%87%BD%E6%95%B0%2C%E4%B8%94f%28x%29%3E0%2Cf%283%29%3D1.%E5%88%A4%E6%96%ADg%28x%29%3Df%28x%29%2B1%2Ff%EF%BC%88x%29%E5%9C%A8%EF%BC%880%2C3%5D%E4%B8%8A%E6%98%AF%E5%A2%9E%E5%87%BD%E6%95%B0%E8%BF%98%E6%98%AF%E5%87%8F%E5%87%BD%E6%95%B0%2C%E5%B9%B6%E5%8A%A0%E4%BB%A5%E8%AF%81%E6%98%8E)
已知f(x)在（0,正无穷）上是增函数,且f(x)>0,f(3)=1.判断g(x)=f(x)+1/f（x)在（0,3]上是增函数还是减函数,并加以证明
已知f(x)在（0,正无穷）上是增函数,且f(x)>0,f(3)=1.判断g(x)=f(x)+1/f（x)在（0,3]上是增函数还是减函
数,并加以证明
已知f(x)在（0,正无穷）上是增函数,且f(x)>0,f(3)=1.判断g(x)=f(x)+1/f（x)在（0,3]上是增函数还是减函数,并加以证明
这个函数是减函数,证明：根据定义,设x2>x 1,g (x 2)-g (x 1)=f (x 2)+1/f (x 2)-f (x 1)-1/f (x 1),化简得：f (x 1)f (x 2)〔f (x 1)f (x 2)-1〕/f (x 1)f (x 2),由于f (x )是一个在(0.3)小于1大于0的数,所以f (x 1)f (x 2)-1是一个小于0的数,由定义可得此函数单调递减.
函数g（x）在（0，3）上是减函数．
证明如下：任取0＜x1＜x2≤3，
则g(x1)-g(x2)=[f(x1)+
1f(x1)]-[f(x2)+
1f(x2)]=[f(x1)-f(x2)][1-
1f(x1)f(x2)]．
∵f（x）在（0，+∞）是增函数，∴f（x1）-f（x2）＜0．又f（x）＞0，f（3）=1，
∴0＜f（x1）＜f（...
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函数g（x）在（0，3）上是减函数．
证明如下：任取0＜x1＜x2≤3，
则g(x1)-g(x2)=[f(x1)+
1f(x1)]-[f(x2)+
1f(x2)]=[f(x1)-f(x2)][1-
1f(x1)f(x2)]．
∵f（x）在（0，+∞）是增函数，∴f（x1）-f（x2）＜0．又f（x）＞0，f（3）=1，
∴0＜f（x1）＜f（x2）≤f（3）=1，
∴0＜f（x1）•f（x2）＜1，
1f(x1)f(x2)＞1，1-
1f(x1)f(x2)＜0．
∴g（x1）-g（x2）＞0，即g（x1）＞g（x2）
由此可知，函数g(x)=f(x)+
1f(x)在（0，3）上是减函数．
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