作业帮三角形内切圆半径公式推导.r=4R*sinA/2*sinB/2*sinC/2.如何证明该公式.PS.公式存在且正确.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/06 03:59:15
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三角形内切圆半径公式推导.r=4R*sinA/2*sinB/2*sinC/2.如何证明该公式.PS.公式存在且正确.
三角形内切圆半径公式推导.
r=4R*sinA/2*sinB/2*sinC/2.
如何证明该公式.
PS.公式存在且正确.
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证明：设I为三角形ABC内接圆圆心
那么 AI是三角形内角A的角平分线,所以AI=R/sin(A/2)．
又 BC=Rcotan(B/2)+Rcotan(C/2)
根据正弦定理：BC/sinA=2r
BC=2rsinA,
即：
2rsinA=R[cotan(B/2)+cotan(C/2)]
2rsinA=R[sin[(B+C)/2]]/[sin(B/2)sin(C/2)]
又 sinA=2sin(A/2)cos(A/2)
从而 4rsin(A/2)cos(A/2)=R[sin(90-A/2)]/[sin(B/2)sin(C/2)]
4rsin(A/2)=R/[sin(B/2)sin(C/2)]
∴ R=4r*sin(A/2)sin(B/2)sin(C/2)
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