已知三角形ABC中,分别以AB,AC为边向三角形ABC 的形外作正方形ABDE和正方形ACFG,连接DF,过DF的中点M作MN垂直BC于点N,求证【1】点N是BC 的中点.【2】MN等于BC的二分之一
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/10/02 10:09:31
已知三角形ABC中,分别以AB,AC为边向三角形ABC 的形外作正方形ABDE和正方形ACFG,连接DF,过DF的中点M作MN垂直BC于点N,求证【1】点N是BC 的中点.【2】MN等于BC的二分之一
已知三角形ABC中,分别以AB,AC为边向三角形ABC 的形外作正方形ABDE和正方形ACFG,连接DF,过DF的中点M作MN垂直BC于点N,求证【1】点N是BC 的中点.【2】MN等于BC的二分之一
已知三角形ABC中,分别以AB,AC为边向三角形ABC 的形外作正方形ABDE和正方形ACFG,连接DF,过DF的中点M作MN垂直BC于点N,求证【1】点N是BC 的中点.【2】MN等于BC的二分之一
如图.设AB=a(向量), BD=a', AC=b, CF=b'.
BC=b-a.设BN=tBC=t(b-a).FD=FC+CB+BD=-b'+a-b+a'
MD=FD/2=-b'/2+a/2-b/2+a'/2.
MN=MD+DB+BN=-b'/2+a/2-b/2+a'/2-a'+t(b-a)
=(1/2-t)a-(1/2-t)b-a'/2-b'/2
MN⊥BC:[(1/2-t)a-(1/2-t)b-a'/2-b'/2]·(b-a)=0
展开,化简,注意a'·b=b'·a(上图,夹角相等),得到:
(1/2-t)2a·b-(1/2-t)(a²+b²)=(1/2-t)(a-b)²=(1/2-t)CB²=0
t=1/2,N是BC中点[【1】成立]
【2】 MN=-a'/2-b'/2,注意a'·b'=-a·b[夹角互补]
MN²=[a'²+2a'·b'+b'²]/4=(a²-2ab+b²)/4=[BC/2]²,MN=BC/2.